Классическое определение вероятности

Рассмотрим пример. Пусть в урне находиться 6 одинаковых тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них красные, 3 – синие и 1 – белый. Появление цветного (красного или синего) шара будем рассматривать в качестве события А.

Определение. Всевозможные неделимые взаимоисключающие друг друга исходы одного испытания теории вероятностей называются элементарными событиями.

Те элементарные исходы, в которых интересующее событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа т исходов,благоприятствующих появлению события , общему числу n равновозможных исходов.

.

Для примера, рассмотренного выше, получим: n = 6, m = 5, тогда .

Свойства вероятностей:

1. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. .

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. .

3. Вероятность случайного события, есть неотрицательное число, заключенное между 0 и 1.

, если А – случайное событие.

Примеры:

1. В партии из 100 деталей, одинаковых по форме и весу, имеется 5 бракованных. Все детали перемешаны. Наудачу берётся 1 деталь. Какова вероятность, что будет извлечена бракованная деталь?

Решение.

Пусть событие А=«вынутая деталь бракованная». Всего равновозможных исходов испытания n=100, из них благоприятны для события А – 5 исходов, следовательно, m=5, тогда .

Ответ: 0,05.

2. Бросают 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадут 2 герба?

Решение.

Пусть событие А=«выпадение двух гербов». Всего исходов испытания четыре: (г; г), (г; ц), (ц; г), (ц; ц). Исходы равновозможны. Следовательно, n=4. Из них один исход (г; г) благоприятствует событию А, следовательно, m=1 и .

Ответ: .

3. В ящике 2 красных, 3 белых и 5 синих шаров одинаковых по форме и весу. Шары тщательно перемешаны. Наудачу вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты 2 красных шара?

Решение.

Пусть событие А=«вынуто 2 красных шара». Число всех исходов испытания найдем, используя формулу сочетаний:

,

причем все исходы равновозможны.

Исход благоприятный для события А только один (так как имеется только 2 красных шара), следовательно, .

Ответ: .

Статистическое определение вероятности

Пусть производится некоторое испытание, в результате которого может произойти событие А.

Предположим, что такое испытание проведено фактически n раз и при этом событие А наступило m раз, тогда отношение называется частотой события А в рассматриваемой серии испытаний.

Обозначим частоту события А через , тогда .

Примеры:

1. В партии из 1000 деталей ОТК обнаружил 20 нестандартных деталей. Найти статистическую вероятность (или относительную частоту) появления стандартных деталей.

Решение.

Пусть событие А=«появление стандартной детали». Из условия задачи n=1000, m=1000-20=980.

Следовательно, .

Ответ: 0,98.

2. Стрелок проводит 100 выстрелов по цели из револьвера и при этом 90 раз попадает в цель. Найти статистическую вероятность попадания в цель.

Решение.

Событие А=«попадание в цель». По условию задачи n=100, m=90. Следовательно, .

Ответ. 0,9.

Замечание 1. Статистическая вероятность может быть вычислена в том случае, если испытания практически проведены в отличие, например от классического определения вероятности, которое не требует, чтобы испытания проводились фактически.

Замечание 2. Значение статистической вероятности при большом числе n испытаний принимают за приближенное значение вероятности этого события.

Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Теорема 1 (сложения несовместных событий). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. .

Теорема 2. (теорема сложения совместных событий). Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей событий минус вероятность их произведения, т.е. .