Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий Определение. Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначается P(A/B).
Определение. События А и В независимы, если P(A/B)=P(A).
Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. P(AB)=P(A)·P(B).
Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго: P(AB)=P(A)·P(B/A) =P(В)·P(A/B).
Примеры:
1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в цель. Известно, что вероятность попадания р1 первого стрелка равна 0,9, а вероятность попадания р2 второго – 0,8. Найти вероятность того, оба стрелка попадут в цель.
Решение.
Рассмотрим событие: А=«попадание первого стрелка в цель», В=«попадание второго стрелка в цель». Тогда событие АВ=«оба стрелка попали в цель». Так как события А и В независимы по условию, то
Р(АВ)=Р(А)Р(В)=р1р2 = 0,72.
Ответ: 0,72.
2. В урне имеется 3 красных и 7 белых шаров. Вынимают сначала один шар и, не возвращая его в урну, второй. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Решение.
Пусть событие А=«первый шар белый», В=«второй шар белый». Тогда событие АВ=«оба шара белые».
Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).
. Условная вероятность P(В/А) того, что второй шар белый, вычисляется при условии, что уже вынут один белый шар, следовательно, . Итак, .
Ответ. .
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Теорема. Пусть события Н1, Н2, ... ,Нn образуют полную группу попарно несовместных событий. И пусть событие А может произойти с каждым из этих событий, тогда
Р(А)=Р(Н1)Р(А/H1)+P(H2)P(A/H2)+ ... + P(Hn)P(A/Hn). (1)
Замечание. События Н1, Н2, ... ,Нn называются гипотезами. Формула (1) – формулой полной вероятности.
Пример:
Имеется 2 одинаковых ящика с деталями. В первом ящике имеется 10 деталей, из них 2 нестандартных, во втором ящике тоже 10 деталей, из них 1 нестандартная. Из одного наугад выбранного ящика вынимается 1 деталь. Какова вероятность, что эта деталь стандартная?
Решение.
Пусть событие А=«взятая деталь стандартная».
Введем события (гипотезы): Н1=«выбран первый ящик», Н2=«выбран второй ящик».
Тогда событие А можно представить в виде А=Н1А + Н2А, отсюда Р(А)=Р(Н1)Р(А/H1)+P(H2)P(A/H2).
Ящиков два, следовательно, Р(Н1)=Р(Н2)= . Так как в первом ящике всего 10 деталей, из них 8 стандартных, то P(A/H1) = = 0,8; аналогично
P(A/H2) = = 0,9.
Итак, по формуле полной вероятности получаем:
Р (А)= 0,5× 0,8 + 0,5 × 0,9 = 0,85.
Ответ. 0,85.
Допустим, что испытание проведено, и в результате этого испытания событие А произошло. Вероятности каждой гипотезы при условии, что событие А произошло, вычисляются по формулам:
, .
Эти формулы позволяет переоценить вероятность каждой гипотезы после того, как становится известным, что в результате испытания произошло событие А. Следовательно, в общем виде получаем
. (2)
Формула (2) называется формулой Байеса.
Пример:
Пусть выполнены условия предыдущего примера и пусть испытание произведено и оказалось, что вынутая деталь стандартная. Найти вероятность того, что она извлечена из первого ящика.
Решение.
Введем те же обозначения для событий, что и при решении предыдущего примера. Требуется найти Р(A/H1). Так как Р(Н1) = 0,5, Р(А/Н1) = 0,8, Р(А) = 0,85, то по формуле (2) имеем
.
Ответ. 0,47.
Как видно, до испытания Р(Н1) = 0,5, а после того как стал известен результат испытания (вынута стандартная деталь), вероятность гипотезы Н1 изменилась, что вполне согласуется со здравым смыслом, так как в первом ящике стандартных деталей было меньше.
Повторение независимых испытаний
Формула Бернулли
Пусть эксперимент состоит в проведении некоторого опыта, о котором можно предположить, что или добились успеха или нет. Т.е. эксперимент с двумя исходами: А и , которые называются «успехом» и «неуспехом» соответственно.
Пусть , .
Проведем п идентичных испытаний (независимых друг от друга). Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли.
Ставится вопрос: Какова вероятность того, что раз добьемся успеха? Обозначим искомую вероятность .
Пример:
Найдем вероятность «успеха» в 3-х испытаниях.
Проведем n независимых испытаний.
,
где .
Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых (идентичных) испытаний с двумя исходами, имеющими неизменные вероятности (в каждом из испытаний).
Вероятность в схеме Бернулли вычисляется по формуле
. (3)
Формула (3) называется формулой Бернулли.
Отметим, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятностей.
Пример:
В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.
Решение:
А = «лампочка неисправна»
n = 6, m = 2, р =1 – 0,7 = 0,3; q = 0,7; p + q = 1,
.
Ответ. 0,3241.
Если требуется найти вероятность того, что число появления события А окажется в пределах от т1 до т2 (интервальная вероятность), обозначается или , то тогда в силу несовместимости событий
.
«Не менее m раз» .
«Хотя бы 1 раз» .
Т.к. все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, …, n раз, то
.
|