|
|
Наивероятнейшее число появления события А в схеме БернуллиВероятность Используя неравенства
Границы отличаются на единицу, так как Пример: Если Теоремы Пуассона и Муавра – Лапласа При больших значениях n и m вычисление Локальная теорема Муавра-Лапласа При больших m и n в схеме Бернулли имеет место следующая формула
Для функции
Рис.1. График функции Чем больше разница между ожидаемым m и средним np, тем меньше вероятность. Пример: Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Найти вероятность отказа 15 приборов при испытании 120 приборов. Решение: А = «прибор отказал» п =120; т = 15; р = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8.
Ответ. Интегральная теорема Муавра-Лапласа При больших n, m1, m2 в схеме Бернулли
Рис.2. График функции Функция
Пример: Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Найти вероятность отказа от 10 до 25 приборов при испытании 100 приборов. Решение: А = «прибор отказал» п =100;
Ответ. 0,8882. В задачах часто будет интересовать интервал, симметричный относительно np.
Рассмотрим частоту появления события
Теорема Пуассона Пусть в схеме Бернулли
Пример: Завод выпускает телевизоры, процент брака в которых 0,2%. В магазин поступила партия телевизоров из 500 штук. Найти вероятность того, что 3 из них окажутся бракованными. Решение: А= «телевизор бракованный»
Ответ: 0,06. Формулой Пуассона удобно пользоваться, когда количество успехов m мало и вероятность успеха p мала. Случайная величина и ее основные характеристики Определение. Случайной величиной Х называется величина, принимающая то или иное заранее неизвестное числовое значение в зависимости от исхода испытания. Определение. Дискретной случайной величиной называется величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, т. е. такое множество, элементы которого можно пронумеровать. Определение. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется соответствие между возможными значениями Х и их вероятностями.
Причем, p1 + p2 +…+ pn = 1. Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X) и среднеквадратическое отклонение σ(Х). Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
Некоторые свойства математического ожидания: 1. M(C) = 0, где C=const; 2. M(CX) = C M(X); 3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y). Замечание: Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Замечание: Некоторые свойства дисперсии: 1. D(C) = 0, где C=const; 2. D(CX) = C2 D(X); 3. D(X) = M(X 2) – [M(X)]2. Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины определяется по формуле: Пример: Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, заданной таблицей:
Решение.
Вычислим дисперсию по свойству:
Ответ: M(X)=0,5; D(X)=0,73; σ(Х)=0,844. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Номер варианта контрольной работы определяется по номеру студента в списке группы. Задача 1. Решить задачу, используя основные комбинаторные формулы. 1. Сколько различных (не обязательно осмысленных) слов можно получить, переставляя буквы слов: а) крот; б) наполеононенавистничество? 2. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует способов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы? 3. Сколькими способами можно разделить колоду в 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по 2 туза? 4. Сколькими способами можно составить набор из 8 различных папок и 10 различных блокнотов, чтобы в нем было 5 папок и 3 блокнота? 5. В лифт вошли 9 человек. Сколькими способами они могут выйти на трех этажах? 6. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами можно это сделать? 7. Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры чисел: а) 9854; б) 3213? 8. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь к театральной кассе? 9. Сколько различных инициалов (ФИО) можно образовать, используя 5 первых букв русского алфавита? 10. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Задача 2. Решить задачу, используя определение вероятности. 1. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 чисел; б) 4 числа. 2. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное. 3. В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд. Случайным образом они делятся на две группы по 10 команд. Какова вероятность того, что: а) 2 наиболее сильные команды при этом окажутся в одной группе; б) 2 наиболее сильные команды при этом окажутся в разных группах? 4. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) все девушки; б) 1 девушка и 4 юноши. 5. В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что: а) 2 из них белые и 3 – черные; б) 1 – белый и 4 – черных? 6. На прилавке лежат 10 кочанов капусты, 4 среди них нестандартные. Найти вероятность того, что среди трех отобранных продавцом кочанов будет: а) 2 нестандартных; б) хотя бы 1 нестандартный. 7. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что: а) студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса; б) студент знает 2 вопроса и не знает 1 из предложенных ему экзаменатором 3 вопросов. 8. В урне 5 белых , 1 черный и 3 красных шара. Наудачу выбирается 3 шара. Найти вероятность того, что: а) не появится ни одного белого шара; б) из выбранных 2 шара белые. 9. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что: а) 2 из них нуждаются в общей регулировке; б) хотя бы 1 нуждается в общей регулировке? 10. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) 2 дамы; б) 1 валет, 1 король и 1 туз. Задача 3. Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из 3 узлов, каждый из которых независимо друг от друга может выйти из строя за это время. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t прибор выйдет из строя. 2. Испытываются 4 двигателя. Вероятность отказа двигателя равна 0,08. Найти вероятность того, что откажет хотя бы 1 двигатель. 3. Вероятность сдачи студентом первого экзамена равна 0,8, второго - 0,9. Найти вероятность того, что студент: а) сдаст оба экзамена; б) сдаст хотя бы один экзамен. 4. Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы 1 элемент. 5. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработает только 1 сигнализатор; б) сработает хотя бы 1 сигнализатор. 6. Три охотника одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого – 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,6. Найти вероятность того, что: а) в мишень попадет хотя бы один; б) не попадет ни один. 7. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из 3-х дисциплин равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по одной дисциплине. 8. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Оба они, начиная с первого, поочередно стреляют, но делают не более, чем по два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно две пробоины. 9. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе отделение – 0,9 и в третье – 0,8. Найти вероятность того, что: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием. 10. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение смены, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4, четвертый – 0,25. Найти вероятность того, что: а) в течение смены 3 станка потребуют внимания мастера; б) хотя бы один станок не потребует внимания мастера. Задача 4. Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулу Байеса. 1. Для сигнализации о нарушении режима работы автоматической линии используют индикаторы, принадлежащие с вероятностями 0,2, 0,3, 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении режимов равны 0,1, 0,75, 0,4. От индикаторов поступил сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит срабатывающий индикатор? 2. В телевизионном ателье имеется 3 кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок службы, соответственно равны 0,85, 0,9, 0,95. Найти вероятность того, что взятый наугад телескоп выдержит гарантийный срок службы. 3. В команде 5 спортсменов, стреляющих отлично, 4 - хорошо и 2 - удовлетворительно. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,95, для хорошего - 0,85 и для удовлетворительного - 0,7. Наудачу выбирается 1 спортсмен, который производит 1 выстрел. Найти вероятность попадания в мишень. 4. В магазин поступили телевизоры от 3 фирм. На долю 1-й фирмы приходится 50% от общего числа поставок, на долю 2-й фирмы – 20%, а на долю 3-й фирмы – 30%. Из практики известно, что бракованными оказываются 4% поставляемых первой фирмой, 3% поставляемых 2-й фирмой и 5% поставляемых 3-й фирмой. Найти вероятность того, что купленный в данном магазине телевизор окажется бракованным. 5. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник? 6. На столе лежат 20 экзаменационных билетов. Студент может ответить на "отлично" с вероятностью 0,9 на 10 билетов, с вероятностью 0,8 - 8 билетов и с вероятностью 0,5 - на 2 билета. Найти вероятность того, что студент ответит на "отлично", если билет взят наудачу 7. На склад поступили изделия одного типа, изготовленные на 3-х заводах, причем с 1-го завода — 50%, со 2-го завода — 30% и с 3-го завода — 20%. Известно по статистике, что 1-ый завод в среднем поставляет 0,025 нестандартных изделий, 2-ой завод — 0,02 и 3-ий завод — 0,015. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие со склада соответствует стандарту. 8. В канцелярии работают 4 секретарши, которые отправляют соответственно 40%, 10%, 30% и 20% исходящих бумаг. Вероятности неверной адресации бумаг секретаршами равны соответственно 0,01, 0,04, 0,06 и 0,01. Найти вероятность того, что документ, неверно адресованный, отправлен третьей секретаршей. 9. На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1,5% брака, второй – 1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 1500. 10. В сентябре вероятность дождливого дня равна 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру. Какова вероятность, что в тот день шел дождь? Задача 5. Решить задачу в условиях схемы Бернулли. 1. Вероятность попадания в мишень при 1 выстреле равна 0,9. найти вероятность того, что при 10 выстрелах, попаданий будет: 1) ровно 4; 2) не менее 8. 2. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0,001. Определить вероятность того, что в партии из 4000 деталей будет: а) ровно 3 бракованных; б) не более 3–х. 3. В жилом доме имеется 6400 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что: а) число одновременно включенных ламп будет между 3120 и 3200; б) число одновременно включенных ламп будет ровно 3125. 4. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна 0,004. Найти вероятность, что: а) за смену откажут 6 элементов; б) откажут не более 6 элементов. 5. 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. а) Чему равна вероятность того, что 4 из них высшего сорта; б) найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта. 6. При автоматической прессовке болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок: а) число болванок без зазубрин заключено между 280 и 320; б) число болванок без зазубрин ровно 300. 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,8. а) Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий; б) найти вероятность того, что из 100 деталей 75 высшего сорта. 8. Игральную кость бросают 720 раз. Каково вероятность того, что при этом три очка выпало: а) 135 раз; б) не менее 140 раз? 9. Известно, что 80% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек, высшее образование имеет: а) 70 человек, б) от 65 до 90 человек. 10. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется: а) 50 девочек; б) не более 45 девочек. Задача 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, заданной таблицей: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Козлов В.Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с. 2. Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев: Учебник. – М.: Гардарики, 2002. – 531 с. 3. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2005, - 560 с. – (Высшее образование). 4. Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М.Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А.В. Курс высшей математики для гуманитарных специальностей/ Под ред. Ю.Д. Максимова: Учеб. пособие. – СПб: Специальная литература, 1999. – 191 с. 5. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд., испр. и доп. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 256 с. 6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа», 2004. 7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: «Высшая школа», 2004. – 404 с. 8. Столл Р. Логика. Множества. Аксиоматические теории. М.: Просвещение , 1968. 9. Могилев А.В. и др. Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов /А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер; Под ред. Е.К. Хеннера. – 2-е изд., стер. – М.: Изд. центр «Академия», 2001. – 816 с. ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 1. Значения функции
Таблица 2. Значения нормированной функции Лапласа
|
|
с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает.
, 
и формулу Бернулли, получаем:
– наивероятнейшее число появления события А в схеме Бернулли.
.
, то 
, если 
, то 
.
.
, где 
.
есть таблицы значений для xÎ[0;4], 
при 
. Функция 
четная, т. е. 
.
0,01.
, где 
.
.
, значения функции имеются в таблицах. При 
.
; 
; р = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8.
.
и пусть интервал значений появления события в схеме Бернулли симметричен относительно np. Тогда
, где 
.
и 
так, что 
. Тогда
.
, 
,
, 
, 
.
.
.
называют средним значением случайной величины 
. Физическая размерность 
характеризует степень рассеяния значений случайной величины 
.
;
;
.
.
