Закон Біо-Савара-Лапласа та його використання у найпростіших випадках

Ще на початку 19-го сторіччя французькі фізики Біо і Савар, обробляючи величезний експериментальний матеріал вивчення характеристик магнітного поля провідників зі струмом за участю математика Лапласа, одержали формулу, яка дістала назву у фізиці закону Біо-Савара-Лапласа.

У векторній формі цей закон має вигляд

, (11.2.1)

де m - відносна магнітна проникність середовища, безрозмірна величина; m_о – магнітна постійна ( ); I – струм у провіднику; - елемент провідника; - відстань від елемента струму до точки, в якій знаходиться індукція магнітного поля (рис.11.3).

Рис.11.3

З видно, що вектор індукції магнітного поля є дотичною до силової лінії магнітного поля, яка охоплює провідник, і проходить через точку, в якій визначається індукція магнітного поля.

Напрям силової лінії визначається за допомогою правила правого гвинта, як це показано на рисунку.

Поряд із індукцією магнітного поля магнітне поле характеризується напруженістю . Ця величина не залежить від властивостей середовища і дорівнює

. (11.2.2)

Величина напруженості магнітного поля входить в одне із рівнянь Максвелла. Розмірність напруженості буде встановлена трохи пізніше.

Закон Біо – Савара - Лапласа для напруженості магнітного поля Н має вигляд

, (11.2.3)

або в скалярній формі

. (11.2.4)

Магнітному полю властивий принцип суперпозиції. Це означає, що поля від кількох джерел магнітного поля накладаються як вектори, тобто

. (11.2.5)

Знайдемо індукцію магнітного поля біля безмежного прямого провідника із струмом (рис.11.4).

Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі

, (11.2.6)

де кут a - це кут між напрямком елемента провідника із струмом і радіусом-вектором , як це показано на рис.11.4; - дотичний вектор до силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правого гвинта.

Рис.11.4

З рисунка видно, що

dS=dlsina і dS=rda,

звідки

.

Радіус-вектор також можна виразити через r_o і кут a, тобто

.

З урахуванням цих зауважень закон Біо – Савара - Лапласа набуде вигляду

. (11.2.7)

Інтегруємо вираз (11.2.7) в межах зміни кута a від a₁ до a₂, в результаті чого одержимо

. (11.2.8)

Якщо у виразі (11.2.8) a₁ прямує до 0, а a₂ прямує до p, то одержимо безмежний прямий провідник із струмом.

У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля буде дорівнювати

. (11.2.9)

б) напруженість магнітного поля буде дорівнювати

. (11.2.10)

З останньої формули легко встановити розмірність напруженості магнітного поля

.

Знайдемо магнітне поле на осі кругового витка із струмом (рис.11.5).

Рис.11.5

Елемент провідника із струмом dl, створює на осі x індукцію магнітного поля dB. Вектор є дотичним до силової лінії, зображеної на рисунку пунктирною лінією. Складова вектора індукції магнітного поля dB_y буде скомпенсована аналогічним елементом з протилежної сторони. Результуючу індукцію магнітного поля від кругового витка із струмом слід шукати в напрямку осі x (принцип суперпозиції магнітних полів).

З рисунка видно, що

. (11.2.11)

Закон Біо – Савара - Лапласа запишеться

, (11.2.12)

тут враховано, що .

Підставимо вираз (11.2.12) у (11.2.11), одержимо

. (11.2.13)

Але врахувавши, що

; і ,

одержимо

. (11.2.14)

Інтегруємо цей вираз в межах довжини витка від 0 до 2πR, одержимо

.

Таким чином, магнітна індукція на осі кругового витка дорівнює визначається за допомогою формули

. (11.2.15)

Напруженість магнітного поля у цьому випадку буде дорівнювати

. (11.2.16)

Для індукції та напруженості магнітного поля у центрі колового витка зі струмом одержимо

, (11.2.17)

. (11.2.18)

Знайдемо індукцію і напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда з струмом (рис.11.6).

Рис.11.6

Виділений елемент соленоїда шириною dx, в якому dN витків, що щільно прилягають один до одного, можна розглянути як круговий виток, індукція якого розраховується за формулою (11.2.15)

, (11.2.19)

Кількість витків у виділеному елементі соленоїда дорівнює

dN = ndx,

де n – число витків на одиницю довжини соленоїда.

З урахуванням цих позначень одержуємо

. (11.2.20)

Виконаємо заміну змінних у співвідношенні (11.2.20), тобто

, і .

З урахуванням цих позначень одержимо, що

.

Інтегруємо цей вираз у межах зміни кута від a₁ до a₂. Після інтегрування одержимо

. (11.2.21)

Якщо a₁®0, а a₂®p, одержимо соленоїд безмежної довжини. У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда

. (11.2.22)

б) напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда

. (11.2.23)