Перетворення координат Лоренца

В класичній механіці Ньютона для тіл, які рухаються з швидкостями, набагато меншими за швидкість світла (v<<с), виконується механічний принцип відносності Галілея.

Суть класичного принципу відносності полягає в тому, що закони динаміки однакові для всіх інерціальних систем відліку.

Розглянемо дві інерціальні системи координат відліку (рис.5.1).

Рис. 5.1.

Інерціальну систему з координатами x, y, z будемо вважати нерухомою. Система, координати якої , , рухається відносно нерухомої системи з сталою швидкістю u.

В довільний момент часу t

= x - ut, =y, =z, = t. (5.1.1)

Ці перетворення координат називаються перетвореннями Галілея.

Диференціюємо ці перетворення за часом і знайдемо закон складання швидкостей у класичній механіці:

. (5.1.2)

де - швидкість руху матеріальної точки в напрямі осі x відносно штрихованої системи координат; - швидкість руху матеріальної точки в напрямі осі х відносно нерухомої системи координат; u – швидкість руху штрихованої системи відносно не штрихованої системи.

У векторній формі класичний закон складання швидкостей матиме вигляд:

. (5.1.3)

Диференціюємо за часом вираз (5.1.3), одержимо:

, або . (5.1.4)

Прискорення матеріальної точки інваріантне відносно перетворень координат Галілея. Можна також стверджувати, що сили теж є інваріантними величинами відносно перетворень координат Галілея

. (5.1.5)

Висновок: У будь-яких інерційних системах відліку всі механічні явища за однакових умов є інваріантні (однакові).

Цей висновок носить назву механічного принципу відносності.

У 1905 році видатний фізик ХХ сторіччя Альберт Ейнштейн, аналізуючи великий експериментальний матеріал, сформулював два постулати створеної ним спеціальної теорії відносності, суть яких така:

- у будь-яких інерційних системах відліку всі фізичні явища за однакових умов відбуваються однаково;

- швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла.

З першого постулату Ейнштейна виходить, що за допомогою будь-яких фізичних дослідів, поставлених у замкнутій системі, неможливо виявити рухається ця система чи перебуває у стані спокою.

Другий постулат Ейнштейна суперечить класичному закону додавання швидкостей.

З постулатами спеціальної теорії відносності перебувають у відповідності не перетворення координат Галілея, а дещо складніші перетворення, які називаються перетвореннями координат Лоренца.

Нехай штрихована система рухається відносно не штрихованої системи координат з сталою швидкістю u, при чому u»c. Нехай швидкість u направлена уздовж осі ОХ. Тоді релятивістські перетворення координат Лоренца будуть мати вигляд:

= ; = ; . (5.1.6)

Координати штрихованої системи по відношенню до координат нештрихованої системи:

; = ; = ; . (5.1.7)

У випадку, коли v<<c, перетворення координат Лоренца переходять у класичні перетворення Галілея:

х= + ut, , , ;

або

=x -u t, , , . (5.1.8)

Класична механіка придатна для розгляду таких рухів, швидкості яких, порівняно з швидкістю світла, досить малі.

Механіка, яка розглядає рух тіл з швидкостями, близькими до швидкості світла, називається релятивістською механікою.

Наслідки перетворення координат Лоренца.

Закон складання швидкостей

Розглянемо деякий процес, який відбувається у точці А, нерухомій відносно штрихованої системи координат. Позначимо тривалість деякого процесу за годинниками не штрихованої системи й штрихованої системи відповідно через t і t_о. Очевидно, що

; і t = t₂ – t_1. (5.2.1)

Для знаходження залежності t_о від t скористаємось перетвореннями координат Лоренца (5.1.7)

; . (5.2.2)

Віднімемо рівності (5.2.2), одержимо t₀:

, але t₂ - t₁ =t , а x₂ – x₁ = ut,

тому

= . (5.2.3)

З рівності (5.2.3) знайдемо t

. (5.2.4)

Висновок.

Якщо v»c, то t₀<<t. Час в різних системах відліку протікає не однаково. Одна і та ж подія має різну тривалість у різних системах відліку.

Знайдемо довжину рухомого предмета в різних системах відліку. Нехай стрижень, який має довжину l₀ в штрихованій системі координат, рухається разом з цією системою координат з швидкістю u відносно не штрихованої системи координат (рис. 5.2). (Стрижень перебуває у спокої відносно штрихованої системи координат).

Як видно з рисунка, довжина стрижня у штриховій системі координат дорівнює:

. (5.2.5)

Рис. 5.2

Координати запишемо з перетворень Лоренца для моменту часу t (в один і той же час)

.

Звідки

. (5.2.6)

Висновок.

Якщо швидкість руху стрижня для спостерігача, який перебуває у стані спокою в системі координат x, y, z прямує до швидкості світла, то l®0.

Лінійні розміри тіла, яке рухається з швидкістю близькою до швидкості світла, в різних системах відліку будуть різними.

Для знаходження закону складання швидкостей, запишемо перетворення координат Лоренца (5.1.7) через безмежно малі зміни координат x, x^’ і часу t і t^’, тобто

, (5.2.7)

. (5.2.8)

Поділивши (5.2.7) на (5.2.8), одержимо

. (5.2.9)

Введемо позначення ; , одержимо

. (5.2.10)

Нехай швидкість штрихованої системи координат u®c, швидкість матеріальної точки в штрихованій системі ®c, тоді швидкість цієї точки відносно спостерігача, який перебуває в стані спокою у не штрихованій системі буде дорівнювати:

. (5.2.11)

Цей висновок є гарним доказом другого постулату Ейнштейна. Формула (5.2.10) є законом складання швидкостей у напрямі осі х. Аналогічно можна одержати відповідні співвідношення для інших осей координат.

Зв’язок маси і енергії

Релятивістська маса рухомого тіла залежить від швидкості руху

, (5.3.1)

де m₀ - маса спокою тіла; m – маса тіла в процесі руху з швидкістю u.

Залежність маси тіла від швидкості руху в релятивістському випадку показана на рис. 5.3. З рисунка видно, що якщо u®c то m®∞.

Рис.5.3

Оскільки реальне тіло при наближенні швидкості його руху до швидкості світла збільшує свою масу до безмежності, то тіла реальної маси такої швидкості досягти не можуть. Швидкість світла мають лише фотони, маса спокою яких дорівнює нулю.

Релятивістський імпульс тіла, швидкість якого наближається до швидкості світла, має вигляд:

. (5.3.2)

Релятивістський імпульс всіх тіл замкнутої системи з часом не змінюється. Цей висновок для закону збереження імпульсу є наслідком однорідності простору.

Релятивістський закон динаміки (другий закон Ньютона) матиме вигляд:

. (5.3.3)

Якщо u<<c, то рівняння (5.3.3) трансформується у класичний закон динаміки

. (5.3.4)

Повна енергія тіла масою m визначається співвідношенням:

, (5.3.5)

де m – маса тіла в процесі руху з швидкістю ; m₀ – маса спокою цього тіла; с – швидкість світла в вакуумі.

Енергія спокою тіла дорівнює Е₀ = m₀с², тому співвідношення (5.3.5) перепишеться

. (5.3.6)

Кінетичну енергію руху легко визначити, якщо від повної енергії тіла відняти енергію спокою цього тіла, тобто

. (5.3.7)

Релятивістське співвідношення між повною енергією і релятивістським імпульсом тіла має вигляд

E² =m²c⁴ = m_о²с⁴ + p²c² . (5.3.8)

У випадку фотонів, маса спокою яких дорівнює нулю :

E² - p²c² =0, або .

Тобто

. (5.3.9)

ЛЕКЦІЯ 6

ЕЛЕКТРОСТАТИКА