Свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

1) ;

2)

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], введем подстановку . Если

1) непрерывны при ,

2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b, , то справедлива формула замены переменной:

Пример (см. задание 2):

Вычисление площадей плоских фигур

– площадь криволинейной трапеции.

Площадь фигуры, ограниченной линиями , находим по формуле

Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.

Пример (см. задание 3):

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

1) Найдем точки пересечения данных кривых.

;

;

;

; .

2) Построим графики данных функций.

(для прямой )

(парабола ).

4 Дифференциальные уравнения

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

.

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.

Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную:

или в явном виде

(1)

Теорема Коши. Если в уравнении (1) функции , определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y , то какова бы ни была внутренняя точка этой области, ДУ имеет единственное решение y=y(x) , удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая.

Определение . Функция y=y(x, С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением ДУ, если

1) при любых значениях С функция y =y(x, С) является решением уравнения (1);

2) Какова бы ни была точка , существует единственное значение постоянной такое, что – есть решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

ДУ с разделяющимися переменными

ДУ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде ,

где правая часть есть произведение сомножителей, каждый из которых является функцией только одной переменной.

Способ решения: разделение переменных по соответствующим дифференциалам (при dx должна стоять функция, зависящая от x, при dy – функция зависящая от y).

Пример:

1) ;

;

;

;

;

– общее решение ДУ.

2) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Найдем общее решение

– общее решение. Выделим из него частное, удовлетворяющее начальным условиям , .

; С=-22, тогда

– из всего семейства интегральных кривых (парабол) выделили одну, проходящую через заданную точку (4; 2).

Однородные функции

Функция f(x,y) называется однородной k-ой степени однородности, если выполняется равенство:

.

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.