Свойства сходящихся числовых рядов. 1) Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд сходится и имеет сумму CS.
2) Если ряды и сходятся и имеют суммы и соответственно, то сходятся и ряды и имеют суммы .
3) Добавление и отбрасывание конечного числа слагаемых не влияет на характер сходимости ряда.
Знакоположительные ряды. Необходимый признак сходимости.
Теорема. Если ряд сходится, то .
Обратное утверждение неверно: если , то ряд может и сходиться и расходиться.
Следствие (достаточный признак расходимости ряда):
Если , то ряд расходится.
Примеры.
1) – ряд расходится.
2) – ничего нельзя сказать о характере сходимости ряда. Нужны дополнительные исследования с помощью других признаков.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
1 Признак сравнения.
Даны два знакоположительных ряда и . Пусть, начиная с некоторого n, может быть и с n=1, выполняется , тогда:
а) если сходится, то сходится и ;
б) если расходится, то расходится и .
Следствие: если существует , конечное число, то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Для использования этого признака удобно выбирать ряд, составленный из членов геометрической прогрессии , который сходится при и расходится при , а также обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при .
2 Признак Даламбера.
Пусть и существует . Тогда при q<1 ряд сходится, при q>1 – расходится, при q=1 – сомнительный случай (нужно исследовать с помощью других признаков).
3 Радикальный признак Коши.
Пусть и существует . Тогда при p<1 ряд сходится, при p>1 – расходится, при p=1 – сомнительный случай.
4 Интегральный признак Коши.
Дан знакоположительный ряд
| (1)
| Пусть – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция, определенная при и такова, что члены ряда являются значениями функции при , т. е. , , …, ,…, тогда ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
План исследования знакоположительных рядов
1. Находим . Если , то ряд расходится, исследование закончено.
2. Если , применяем один (подходящий) из достаточных признаков сходимости.
3. Делаем вывод о сходимости ряда.
Примеры.
1)
Напоминаем, что
; 0!=1;
.
– ряд, расходящийся по признаку Даламбера.
2) – ряд сходится по радикальному признаку Коши.
3) сравним с – сходящимся (как обобщенный гармонический при k>1). Используем следствие из признака сравнения: – конечное, не равное нулю число, тогда ряды ведут себя одинаково, т. е. сходятся.
Знакопеременные ряды
Это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды: ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный:
или
.
Признак Лейбница.
Если в знакочередующемся ряде
1) абсолютные величины членов ряда убывают ;
2) ,
то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.
Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.
Рассмотрим знакочередующийся ряд и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.
Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.
1) ;
2) . => ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.
– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k=3>1, тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида:
,
где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.
При a=0 имеем
| (1)
| При степенной ряд (1) принимает вид
| (2)
| Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.
Если ряд (2) сходится, то – точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то – точка расходимости. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.
– радиус интервала сходимости.
– интервал сходимости.
Если R=0, то точка x=0 – единственная точка сходимости.
Если R=¥, то ряд сходится на всей числовой оси.
Пример.
1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.
.
Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.
1) x=–5, тогда степенной ряд примет вид
.
Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:
1)
– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд
расходится, точка – точка расходимости.
2) x=5; – ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x=5 – точка расходимости.
(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.
2)
.
– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:
1) , тогда степенной ряд примет вид:
– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:
1) ;
2) , тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.
2) . Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.
– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.
– область сходимости степенного ряда.
Теория вероятностей
|