СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я

к выполнению контрольных работ по сопротивлению материалов для студентов заочной формы обучения строительных специальностей.

Часть1. Простые деформации

Брянск 2011

доцент, к.т.н. В.М. Захаров

Рецензент: доцент, к.т.н., зав. кафедрой СК БГИТА С.Г. Парфенов

Рекомендованы учебно-методической комиссией строительного факультета

Протокол от

К ЗАДАЧЕ № 1

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ ШАР­НИРНО- СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА

Данные:

размеры — а = 2 м; b= 2 м; с =2 м;

длины стержней —ℓ₁ = 3 м; ℓ₂ = 3 м;

угол а = 60°;

площади поперечных сечений стержней — F₁= F₂=10 см²=10^{-3 м2};

модули упругости материала стержней —

Е₁ = Е₂ = Е = 2·10⁵ МПа (2·10⁶ кгс/см²).

допускаемое напряжение— [σ] = 160 МПа (1600 кгс/см²).

Требуется определить величины допускаемых нагрузок Q.дву­мя способами: по допускаемым напряжениям и по допускаемым нагрузкам.

Выражение усилии и напряжений в стержнях через силу Q

Задача является один раз статически неопределимой, так как в одно уравнение статики (сумму моментов относительно шарни­ра А) входят два неизвестных усилия N₁ и N₂.

На рисунке 1.1 показано, что продольные усилия в стержнях N₁ и N₂ совпадают с реакциями опор r_D и r_E соответственно. Исполь­зование еще двух уравнений статики бесполезно, так как в них неизбежно войдут неизвестные составляющие опорной реакции в шарнире А, не нужные, для решения задачи.

Итак, единственное уравнение статики:

∑M_A = N₁· a · sin α + N₂· (a + b) - Q·(a+b+c). (1.1)

Для получения дополнительного уравнения необходимо составить уравнение совместности деформаций стержнейΔℓ₁ нΔℓ₂ (геометрическая сторона задачи) и выразить эти де­фор­мации

Рисунок 1.1

через продольные усилия N₁ и N₂ по закону Гука (физическая сторона задачи).

Совместность деформаций Δℓ₁ нΔℓ₂ может быть уста­нов­лена непосредственно по чертежу деформированного состоянии системы — рисунок 1,2 (его нужно выполнить с соблю­­дением масштаба длин).

Так как упругие деформации и связанные с ними перемещения точек В и Смалы в сравнении с размерами системы, эти перемещения показаны на рисунке 1.2 не дугами окружностей, образующимися при повороте бруса вокруг точки А,а отрезками, перпендикулярными к прямой ABC.

Удлинение стержня 2 равно перемещению точки С, т. е.

Δℓ₂ = . (1.2)

Рисунок 1.2

Удлинение стержня 1

Δℓ₁ = = · sin α . (1.3)

Здесь учтено, что ввиду малости деформаций разность между новой длиной стержня DВ₁ и первоначальной DВдопустимо полу­чить, опустив из точки Вперпендикуляр на DВ₁.

Из подобия треугольников легко получить совместность пе­ре­мещений точек Ви С:

^: (1.4)

Разделив (1.3) на (1.2) и учтя (1.4), получаем уравнение сов­местности деформаций:

(1.5)

По закону Гука:

. (1.6)

. (1.7)

Подставляя эти выражения в (1.5), имеем:

. (1.8)

Дальнейшее решение слишком громоздко выполнять в общем виде. Выполним подстановку числовых значений известных величин, входящих в (1.1) и (1.8), предварительно упростив их сокращениями:

N₁ ·sin60º + 2N₂ =3Q, (1.1')

N₁ =N₂ sin60º . (1.8')

Совместное решение (1.2') и (1.8') дает

Напряжения в стержнях:

= 548 Q Па =0,000548 Q МПа (0,0548 Q кгс/см²)

= 1262 Q Па =0,001262 Q МПа (0,1262 Q кгс/см²)

Определение грузоподъемности системы по способу допускаемых напряжений

Из условия прочности при растяжении

max σ = σ ₂ = 0,001262 Q< [σ ] = 160 МПа (1600 кгс/см²), получим

Q^I_доп = =126000 Н = 126 кН (12,6 тс)

Определение грузоподъемности системы по способу допускаемых нагрузок

Примем: предел текучести материала — σ _т = 240 МПа

(2400 кгс/см²), коэффициент запаса прочности — K_т =1,5.

Если найденное ранее значение силы Q^I_доп=126 кН будет пре­вышено в K_т раз, это вызовет текучесть лишь во втором (более напряженном) стержне;

Такое состояние принималось за критическое по первому способу.

Предельная же грузоподъемность системы Q^к_т соответ­ствует наступлению состоянии текучести и обоих стержнях.

В этом случае усилия в стержнях будут равны:

N₁^т = σ_т · F₁ и N₂^т = σ_т · F₂

Подставляя эти значения усилий и уравнение равновесия (1.1') имеем:

σ_т · F₁ · sin60º + 2 · σ_т · F₂ = 3 · Q^к_т ,

откуда

Q^к_т = = = 230000 Н= 230 кН (23000 кгс).

Допускаемая нагрузка

	QIIдоп= = = 153 кН (15300 кгс, 15,3 тс).

Сравнение результатов

Увеличение допускаемой нагрузки по новому способу расчета
составляет:

= =21,5%

К ЗАДАЧЕ № 2

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА

Жесткий брус прикреплен к двум стальным стержням с пло­щадью поперечного сечения F, опирающимся на неподвижное основание. К брусу прикреплен средний ступенчатый стальной стержень с зазором Δ= β·С (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1

Требуется (без учета собственного веса):

1 Установить, при какой величине сил H₀ и 3·H₀зазор за­кроется:

2. Найти реакцию основания в нижнем сечении среднего стерж­ня при заданной величине сил H и 3·H и построить эпюру продольных сил для среднего стержня.

3. Найти усилия и напряжения в крайних стержнях при задан­ной величине сил H и 3·H.

4 Установить, на сколько 1радусов надо охладить средний стержень, чтобы реакция основания в нижнем сечении среднего стержня при заданной величине сил H и 3·H обратилась в нуль.

Примем следующие данные:

С = 2,0 м;. F = 20 см²; H = 100 кН (10 тс), β = 5·10^-5; Е = 2·10⁵МПа (2·10⁶ кгс/см²); а=12,5·10^-6;

Δ= β·С = 5·10^-5·2,0 = 10^-4м = 0,01 см.

2.1. Определение величины сил H₀ и 3·H₀, при которых зазор закроется

Закрытию зазора соответствует перемещение точки Авниз на величину Δ. Это перемещение складывается из перемещения вниз верхней плиты (Δ_В), равного деформации сжатия крайних стерж­ней, и перемещения точки Аотносительно точки В(Δ_АВ), равного алгебраической сумме деформаций отдельных участков среднего стержня:

Δ_а = Δ_В + Δ_ав = Δ. (2.1)

Запишем выражения для продольных усилий в поперечных сечениях стержней, составляя уравнения равновесия отсеченных частей, показанных на рисунке 2.3.

N₁⁽⁰⁾ = 0; N₂⁽⁰⁾ = 3·H₀; N₃⁽⁰⁾ = 3·H₀; N₂⁽⁰⁾ = 3·H₀; N₃⁽⁰⁾ = 3·H₀.

Рисунок 2.2

По закону Гука:

Δ_B = │Δℓ₅│= = ;

Δ_AB = Δℓ₁ + Δℓ₂ + Δℓ₃ + Δℓ₄ = + + + =

=0+ + + =

Подставляя эти значения перемещений в (2.1), имеем:

Δ_а = Δ_В + Δ_ав = + = (2.2)

Теперь, используя (2.1), окончательно получаем:

H₀ = = = =

= 8,42 ·10³ Н = 8,42 кН (8,42 кН).

2.2. Определение реакции основания в нижнем сечении среднего стержня приH = 100 кН (10 тс)

Так как H > H₀, то после исчезновения зазора средний стер­жень упрется в опору, вызвав в ней реакцию R_A, направленную вверх. Направление реакций опор в нижних сечениях крайних стержней (R_К) предугадать нельзя. Предположим, что они тоже направлены вверх, как показано на рисунок 2.3.

Условие равновесия дает:

ΣY=R_А + 2R_К – ЗH + H = 0. (2.3)

В это единственное уравнение статики входят два неизвестных. Поэтому задача является один раз статически неопределимой.

Дополнительное уравнение получим из условия совместности деформаций, которое можно записать бесчисленным множеством вариантов в соответствии с выбором так называемой основной системы.

Основной называется геометрически неизменяемая статически определимая система, получаемая из заданной статически неопре­делимой системы удалением «лишних» связей. Возьмем в качестве «лишней» связи опору под средним стержнем. На рисунке 2.3 показа­на такая основная система, загруженная заданными силами H и 3Н и неизвестной реакцией R_A,которая должна заменить отбро­шенную связь.

Рисунок 2.3

Если бы реакции R_A не было, то под действием заданных сил нижнее сечение среднего стержня заняло бы положение 1—1, со­вершив перемещение Δ_ар. Искомая реакция r_a. должна быть та­кой величины, чтобы вызываемая ею деформация системы соот­ветствовала перемещению нижнего сечения среднего стержня вверх до уровня опоры (Δ_AX).

Из чертежа очевидно следующее уравнение совместности де­формаций, записанное в перемещениях точки А:

Δ_AX = Δ_ар – Δ. (2.4)

Рисунок 2.4

Перемещение точки A вниз от действия заданных сил можно определить по аналогии с тем, как это было сделано в пункте (1) задачи по формуле (2.2):

Δ_ар = = = 1,19·10^{-3 м} = 0,119 cм

Перемещение точки А вверх от действия силы R_Aскладывается из укорочения среднего стержня, во всех сечениях которого воз­никает сжимающая продольная сила, равная R_Aи растяжения крайних стержней, в каждом из которых возникает продольная си­ла, равная 0,5 R_A.

Используя закон Гука, имеем:

Δ_AX = + + + + =

= + + + +

+ = 1,25

Подставляем эти значения перемещений в (2.4) и, учитывая, что Δ= β·С = 5·10^-5·2,0 = 10^-4м = 0,01 см., имеем:

1,25 = Δ_ар – Δ,

откуда:

R_A = = =

=174·10³ Н = 174 кН (17,4 тс).

Статическая неопределимость раскрыта:

R_A = 174 кН (17,4 тс).

Продольные усилия в поперечных сечениях на отдельных участ­ках среднего стержня получим, составляя алгебраические суммы внешних сил, расположенных ниже этих поперечных сечений:

N₁ = –R_A = –174 кН (17,4 тс);

N₂ = N₃ = –R_A + 3H = –174 + 3·100 = 126 кН (12,6 тс);

N₄ = –R_A + 3H – H = –174 + 3·100 – 100 = 26 кН (2,6 тс);

По этим данным строим эпюру продольных сил для среднего стержня (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5