Построение эпюры углов закручивания

Полярный момент инерции

J_P = = =61,4 см⁴.

Жесткость вала

GJ_P = 8·10⁴·10⁶·61,4·10^-8 = 49-10³ Н·м² = 49 кН·м² (4900 кгс·м²).

По формулам (3.3), подставляя найденные значения крутящих моментов и жесткости GJ_р, определяем углы закручивания на от­дельных участках:

:

φ_BA = = = 0,0078 рад.=0,45º,

φ_CB = = =–0,0287 рад.= –1,65º,

φ_DC = = = 0,0376 рад.= 2,16º,

φ_ED = =. =–0,0167 рад.= –0,96º,

Для контроля правильности вычислений составляем сумму:

φ_E = 0,45°–1,65°+2,16°–0,96° = 0.

Окончательно для построения зпюры φ имеем:

φ_А = 0; φв = 0,45°; φ_C = φв +φ_CB = 0,45°–1,65° = – 1,20°;

φ_d = φ_C +φ_dc = – 1,20°+ 2,16° = 0,96°;

φ_е=φ_D + φ_ED = 0,96°– 0,96° = 0.

По этим данным на рисунке 3.1 в построена эпюра φ.

Для контроля эпюры φ можно использовать следующую зависимость: тангенс угла наклона эпюры φ – относительный угол закручивания Θ = dφ/dz— пропорционален при постоянной жестко­сти крутящему моменту на соответствующем участке:

Θ = = = =

Таким образом, на тех участках, где М_кположителен, φ – воз­растает и, наоборот, где М_котрицателен, там φ – убывает, при­чем тем интенсивнее (круче), чем больше абсолютная величина крутящего момента. При этом, конечно, нужно длины участков вала изображать в масштабе.

К ЗАДАЧЕ № 4

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

В задаче нужно определить ряд геометрических характеристик несимметричного поперечного сечения стержня, полученного соеди­нением (например, сваркой) двух стандартных прокатных профи­лей. Для примера возьмем сечение, составленное из неравнобокого уголка 75×50×5 и швеллера № 10 (см. рисунок 4.1).

Данные (индексы соответствуют рисунку 4.1):

1. Швеллер: высота h=100 мм; ширина полки b = 46 мм; тол­щина стенки d=4,5 мм; средняя толщина полки t= 7,6 мм; площадь
сечения F₁ = 10,9 см²; момент инерции относительно главной цент­ральной оси, параллельной стенке — J^I_x1=20,4 см⁴ (в сортаменте
обозначен J_y); момент инерции относительно главной цен­тральной оси, параллельной полкам — J^I_y1 = 174 см⁴ (в сор­таменте обозна­чен J_х); размер, определяющий положение центра тяжести, — z₀ =1,44 см.

2. Уголок: ширина большей полки В = 75 мм; ширина меньшей полки b = 50 мм; толщина полок d = 5мм; размеры, определяющие положение центра тяжести: x₀=1,17 см, y₀ = 2,39 см; площадь сечения F₂ = 6,11 см²; момент инерции отно­сительно центральной оси, параллельной меньшей полке J^II_x2 = 34,8 см⁴;_момент инерции относительно центральной оси, параллельной большей полке J^II_y2 = 12,5 см⁴; минимальный главный центральный момент инер­ции J^II_min = 7,24 см⁴, тангенс угла наклона главной централь­ной осп J^II_min относительно оси y₂ tgα₂ = - 0,436 (поставлен знак «-», так как ось y₂ повернута относительно оси y₂ по часовой стрелке).

Рисунок 4.1

В дальнейшем потребуется центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей, параллельных полкам—J^II_{x2 y2}

Его можно вычислить, исходя из формулы, определяющей на­правление главных центральных осей:

tgα₂ =

откуда

J^II_{x2 y2} = ( J^II_x2 - J^II_min)· tgα₂ =- (34,8 - 7,24) • (-0,436) = 12,0 см⁴.

Для данного положения уголка относительно выбранного на­правления осей знак (+)для J^II_{x2 y2} получен правильно. Это очевидно из рисунка 4.2. Действительно: по определению центробежный момент инерции — это J_{x y} = ; но части площади уголка, заштрихованные на рисунке 4.2, у которых произведение координат всех точек положительно, явно превалируют над незаштрихованной (отрицательной) частью, значит J^II_{x2 y2} >0.

Для равнобокого уголка следует взять α = 45°, т. е. J_{x y} = J_{x y}- J_min.

Рисунок 4.2

Определение положения центра тяжести

В качестве вспомогательных осей, для определения координат центра тяжести выберем оси «М»(линия сопряжения швеллера и уголка) и ось симметрии швеллера у₁ («N»). Такой выбор осей удобен тем, что относительно оси «М»заданы координаты центров тяжести уголка n₂ = у₀ = 2,39см и швеллера n₁ = -z₀ = -1,44 см, а

относительно оси швеллера у₁ («N»)— как центральной для швеллера, его статический момент равен нулю (m₁ = 0; m₂ = b – х₀= 5 - 1,17 = 3,87 см).

Итак,

m_c = = = = = 1,39 см;

n_c = = = = =

= -0,065 см;

Через центр тяжести «с» проведем оси хи у. Координаты цент­ров тяжести каждой из фигур в новых осях:

x_C1 = b₁ = - 1,39 см; _y_с, = а₁ = - (1,44 - 0,065) = - 1,375 см;

x_С2 = b₂ = 3,87 - 1,39 = 2,48 см;

y_C2 = a₂ = 2,39 + 0,065 = 2,455 см.

Для контроля можно проверить, соблюдаются ли очевид­ные пропорции:

= =

= = 0,56; = = 0,56; = = 0,56.

Эта проверка основана па том, что центр тяжести фигуры, состоящей из двух частей F₁и F₂,должен лежать на линии, соеди­няющей центры тяжести этих частей c₁ и с₂, и делить отрезок на части, обратно пропорциональные площадям F₁и F₂, т, е.

=