СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ БАЛКА

В задаче требуется раскрыть статическую неопределимость один раз статически неопределимой балки, построить для нее эпю­ры поперечных сил, изгибающих моментов и прогибов.

В качестве примера рассмотрим балку, расчетная схема которой изображена на рисунке 6.1.

Общий план раскрытия статической неопределимости методом сил заключается в следующем:

1. Из заданной статически неопределимой системы удаляются «лишние» связи с тем, чтобы система стала статически определимой, но осталась при этом геометрически неизменяемой. Такая система называется основной. Вариантов ее выбора – бесчисленное множество.

2. Основная система загружается заданными нагрузками и неизвестными силами, заменяющими отброшенные связи.

3. На основную систему налагаются условия совместности де­формаций – перемещения в направлении отброшенных связей, вызванные действием известных и неизвестных (искомых) сил, должны равняться нулю.

4. Упомянутые выше перемещения выражаются через заданные и искомые силы.

5. Полученная таким образом система уравнений решается относительно искомых сил.

Число уравнений совместности деформаций равно числу иско­мых сил, т. е. равно степени статической неопределимости системы.

В нашем примере это число равно единице.

Рисунок 6.1

Проведем раскрытие статической неопределимости, выбрав в качестве «лишней» связи шарнирно-подвижную опору «1». Таким образом, основная система представляет собой обычную консоль­ную балку (рисунок 6.1) «Лишней» неизвестной является реакция R₁. Она определяется изусловия совместности деформаций, выра­жающего равенство нулю прогиба балки в сечении «1» (V₁ = 0).

Используя принцип независимости действия сил, уравнение совместности деформаций можно сформулировать так: прогибы балки в сечении «1» в основной системе от действия заданной на­грузки и от действия искомой реакции R₁ должны быть равны между собой и противоположно направлены.

V_1(P) = –V_1(R1) или | V_1(P) | = | V_1(R1)|. (6.1)

Чтобы выразить эти перемещения (прогибы) через заданные нагрузки и неизвестную реакцию R₁воспользуемся правилом Верещагина (метод Мо­ра–Максвелла), которое в данном случае может быть записана так:

V = Σ ,

Здесь: ω_p – площадь грузовой эпюры, т. е. эпюры изгибающих моментов от нагрузки, вызывающей прогиб V.

M_С1 – ордината эпюры изгибающих моментов от единичной силы, соответствующей искомому перемещению, под центром тяжести грузовой эпюры

Определим вначале прогибы от каждой из нагрузок в отдель­ности

а) от действия распределенной нагрузки:

Рисунок 6.2

ω_q = – · ·ℓ = – ; M_С1 = – ·ℓ,

EJ_x ·V_1(q) = ω_q · M_С1 = · = 0,125 qℓ⁴ (вниз).

б) от действия силы P₁ = qℓ:

ω_P1 = – · · = – ; M_С1 = – ·ℓ,

Рисунок 6.3

EJ_x ·V_1(P1) = ω_P1 · M_С1 = · = 0,1042 qℓ⁴ (вниз).

в) от действия силы P₂ = 0,2 qℓ:

В данном случае удобней умножить площадь единичной эпюры на соответствующую ее центру тяжести ординату грузовой эпюры (это допустимо, так как грузовая эпюра прямолинейна).

ω₁ = – ; M_СP = ·ℓ = 0,1933 qℓ²,

EJ_x ·V_1(P2) = ω₁ · M_СP = – · 0,1933 qℓ² = –0,0967 qℓ⁴ (вверх).

Рисунок 6.4

Итак, от действия всех заданных сил сечение «1» переместилось бы внизна величину:

V_1(P) = V_1(q)+V_1(P1)-V_1{p₂₎ = (0,125 + 0,1042–0,0967) = 0,1325

Рисунок 6.5

Точно на такую же величину должна переместить сечение 1 вверхис­комая реакция R₁.

ω_R1 = 0,5R₁·ℓ² ; М_С1 = ;

V_1(R1) = = (вверх).

Сравнивая полученные прогибы па основании условия совмест­ности деформаций (6.1), имеем:

R₁·ℓ³ = 0,1325 q ℓ⁴ , откуда R₁ = 0,397 q ℓ

Статическая неопределимость раскрыта.

На рисунке. 6.1 показана основная система, загруженная задан­ной нагрузкой и найденной реакцией R₁. Эта статически определи­мая система полностью эквивалентназаданной статически неоп­ре­де­лимой. Поскольку она представляет собой обычную консольную балку, для построения эпюр Q и М_ицелесообразно составлять суммы проекций и моментов сил, расположенных справа от сече­ний на всех трех участках балки.

К построению эпюры «Q».

Q₁^пр = – P₂ = – 0,2qℓ;

Q₁^лев = – P₂ – R₁= – 0,2qℓ – 0,397qℓ = – 0,597qℓ;

Q_C ^пр = – P₂ – R₁ + 0,5qℓ = – 0,597qℓ + 0,5qℓ = – 0,097qℓ;

Q_C^лев = – P₂ – R₁ + 0,5qℓ + P₁ = – 0,097qℓ + qℓ = 0,903qℓ;

Q₀ = – P₂ – R₁ + 0,5qℓ + P₁ + 0,5qℓ = 0,903qℓ+ 0,5qℓ = 1,403qℓ;

R₀ = Q₀ = 1,403qℓ;

К построению эпюры «М_и».

M₁ = P₂·0,3ℓ = 0,2qℓ·0,3ℓ = 0,06 qℓ²;

M_C = P₂·0,8ℓ + R₁·0,5ℓ –q·0,5ℓ·0,25ℓ = 0,2qℓ·0,8ℓ + 0,397qℓ·0,5ℓ –0,5·qℓ ·0,25ℓ = 0,234 qℓ²;

M₀ = P₂·1,3ℓ + R₁·ℓ –qℓ·0,5ℓ = 0,2qℓ·1,3ℓ + 0,397qℓ·ℓ –qℓ·0,5ℓ = = – 0,343 qℓ²;

Построенные по этим данным эпюры Q и М_н приведены на рисунке 6.6 в и г.

Построение эпюры прогибов(рисунок 6.6 д)

Используем универсальное уравнение изогнутой оси балки, за­писанное по методу начальных параметров:

EJ_X·V = EJ_X·V₀ + EJ_X·Θ₀·z + Σ + Σ + Σ

Здесь V₀ и Θ₀ – прогиб и угол поворота сечения в начале коор­динат (в нашем примере V₀ = Θ₀ = 0, так как на­чало координат совпадает с защемляющей опо­рой);

a_M, а_P и а_q – координаты сечений, в которых приложены со­средоточенные моменты, сосредоточенные силы или начинаются распределенные нагрузки, соот­ветственно.

Так как одним из условий применения метода начальных па­раметров является непрерывность распределенной нагрузки, про­длеваем ее до конца балки Dи вводим на участке 1Dсоответствующую компенсирующую нагрузку (рисунок 6.66). Помещая сла­гаемые правой части уравнения в порядке расположения сил на балке, получаем:

EJ_X·V = + – – +

+ + .

Для контроля вычислим прогиб при z =ℓ:

EJ_X·V = + – – =

= (–0,1715 + 0,2338 – 0,0417 – 0,0208) qℓ⁴ = 0.

Теперь вычислим прогибы в сечениях с координатами:

z_C=0,5ℓ; z_K = 0,7ℓ и z_D=l,3ℓ;

EJ_X·V_C= + – =–0,0175 qℓ⁴;

Рисунок 6.6

EJ_X·V_K= + – – = –0,0143 qℓ⁴;

EJ_X·V_D= + – – + + = 0,0171 qℓ⁴;

При построении эпюры прогибов направление выпуклости изогнутой оси нужно согласовать со знаком эпюры изгибающих мо­ментов: на участке отрицательной эпюры изгибающих моментов ось балки имеет выпуклость вверх и, наоборот, на участке поло­жительного момента – вниз. В сечении Е,где M_И = 0, на изогну­той оси – точка перегиба. Координата этого сечения может быть определена следующим образом

М_E = – + 1,403qℓ·z_E – 0,343 qℓ² = 0;

z²_E – 2,806 ℓ z_E + 0,686 ℓ² = 0;

откуда

z_E = 1,403 ℓ ± = (1,403 ± 1,133) ℓ;

так как

0 ≤ z_E ≤ 0,5 ℓ

получаем:

z_E.= 0,27ℓ.

Обратите внимание на то, как изогнутая ось примыкает к левой опоре балки – угол поворота здесь равен нулю.

К ЗАДАЧЕ № 7