Примеры решения некоторых численных методов в Excel
Нахождение корней уравнений
Графический способ нахождения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке [a,b]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения.
Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [a,b], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней.
При нахождении корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) руководствуются следующими соображениями:
– если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки, то между точками a и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;
– если же функция имеет одинаковые знаки на концах интервала, то между a и b имеется четное число корней или их совсем нет;
– если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки и либо первая производная, либо вторая производная не меняют знаки на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке [a,b].
Найдем все действительные корни уравнения x5–4x–2=0 на отрезке [–2,2]. Создадим электронную таблицу.
Таблица 1
В таблице 2 получены результаты расчета.
Таблица 2
Аналогично находится решение на интервалах [-2,-1], [-1,0].
Уточнение корней уравнения
С использованием режима «Поиск решений»
Для данного выше уравнения следует уточнить с погрешностью Е=0,001 все корни уравнения x5–4x–2=0.
Для уточнения корней на интервале [-2,-1] составим электронную таблицу.
Таблица 3
| А
| В
|
| Уточнение корней
|
| Режим – поиск решения
|
| Начальное приближение корня
| -2
|
| Уравнение
| =В3^5-4*B3-2
|
| Нижняя граница интервала
| -2
|
| Верхняя граница интервала
| -1
|
Запускаем режим «Поиск решения» в меню «Сервис». Выполняем команды режима. Режим показа отобразит найденные корни. Аналогично уточняем корни на других интервалах.
Уточнение корней уравнений
С использованием режима «Итерации»
Метод простых итераций имеет два режима «Вручную» и «Автоматически». Для запуска режима «Итерации» в меню «Сервис» открывают вкладку «Параметры». Далее следуют командам режима. На вкладке «Вычисления» можно выбрать режим автоматический или ручной.
Решение систем уравнений
Решение систем уравнений в Excel проводится методом обратных матриц. Решить систему уравнений:
Создадим электронную таблицу.
Таблица 4
| A
| B
| C
| D
| E
|
| Решение системы уравнений.
|
|
|
| Ax=b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Исходная матрица А
|
| Правая часть b
|
| -8
|
|
|
|
|
|
|
| -3
|
|
|
|
|
| -2
|
| -2
|
|
|
|
|
|
|
| Обратная матрица (1/А)
|
| Вектор решения x=(1/A)/b
|
| =МОБР(А6:С8)
| =МОБР(А6:С8)
| =МОБР(А6:С8)
|
| =МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
|
| =МОБР(А6:С8)
| =МОБР(А6:С8)
| =МОБР(А6:С8)
|
| =МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
|
| =МОБР(А6:С8)
| =МОБР(А6:С8)
| =МОБР(А6:С8)
|
| =МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
|
Функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.
В таблице 5 представлены результаты расчета.
Таблица 5
| A
| B
| C
| D
| E
|
| Решение системы уравнений.
|
|
|
| Ax=b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Исходная матрица А
|
| Правая часть b
|
| -8
|
|
|
|
|
|
|
| -3
|
|
|
|
|
| -2
|
| -2
|
|
|
|
|
|
|
| Обратная матрица (1/А)
|
| Вектор решения x=(1/A)/b
|
| -0,149
| 0,054
| -0,230
|
|
|
| 0,054
| 0,162
| -0,189
|
|
|
| -0,122
| 0,135
| -0,824
|
|
|
Список использованных литературных источников
1. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие для вузов/ ред. В.В. Щенников.–М.: Наука, 1987.–320с.
2. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс.–М.: Радио и связь, 1988.–128с.
3. Евсеев А.М., Николаева Л.С. Математическое моделирование химических равновесий.–М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.–192с.
4. Безденежных А.А. Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчета кинетических констант.–Л.: Химия, 1973.–256с.
5. Степанова Н.Ф., Ерлыкина М.Е., Филиппов Г.Г. Методы линейной алгебры в физической химии.–М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.–359с.
6. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие для вузов/ Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. - М.: Высш. шк., 2000.-190с. - (Высшая математика/ Садовничий В.А.)
7. Применение вычислительной математики в химической и физической кинетике, под ред. Л.С. Полак, М.: Наука, 1969, 279 стр.
8. Алгоритмизация расчетов в химической технологии Б.А. Жидков, А.Г. Бондарь
9. Вычислительные методы для инженеров-химиков. Х.Розенброк, С.Стори
10. Орвис В.Д. Excel для ученых, инженеров и студентов. – Киев: Юниор, 1999.
11. Ю.Ю. Тарасевич Численные методы на Mathcade – Астраханский гос.пед.ун-т: Астрахань, 2000.
|