Дисперсия альтернативного признака

Альтернативные признаки – это признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие (например, работники либо имеют высшее образование, либо не имеют, т.е. это два взаимоисключающих варианта). При статистическом выражении колеблемости альтернативного признака, наличие признака обозначается 1, а доля единиц совокупности, обладающих данным признаком, обозначается р. Отсутствие признака обозначается 0, доля единиц, не обладающих данным признаком, - q. Очевидно, p+q=1.

Отсюда,

т.е.

Т.о., дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающих им.

Характеристика закономерности рядов распределения

В вариационных рядах существует определенная связь в изменении частот и значений варьирующего признака: с увеличением варьирующего признака величина частот вначале возрастает до определенной величины, а затем уменьшается. Такого рода изменения называются закономерностями распределения.

Положение кривой на оси абсцисс и ее рассеивание являются двумя наиболее существенными свойствами кривой. Другими словами, фактическая форма кривой для любого распределения зависит от значений и σ. Наряду с ними существует ряд других важных свойств кривой распределения: степень асимметрии, высоко- или низковершинность, которые в совокупности характеризуют форму, или тип, кривой распределения. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисления показателей асимметрии и эксцесса.

Распределение является симметричным, если частоты двух любых вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричного распределения средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой:

=Ме=Мо.

Чем больше разница между средней арифметической и модой (медианой), тем больше асимметрия ряда.

Коэффициент асимметрии исчисляется по формуле

Коэффициент асимметрии изменяется от –3 до +3. Если A_s>0, то кривая распределения имеет длинный правый «хвост», т.е. налицо правосторонняя асимметрия. При этом выполняется соотношение Мо < Ме < .

Если A_s<0, то асимметрия левосторонняя, кривая распределения имеет длинный левый «хвост». При этом >Ме>Мо.

На практике асимметрия считается значительной, если коэффициент асимметрии превышает по модулю 0,25.

Эксцесс представляет собой вершины распределения вверх или вниз от вершины нормального распределения. Коэффициент эксцесса рассчитывается по формуле

,

где - центральный момент четвертого порядка, или . При нормальном распределении =3, эксцесс нормального распределения равен 0. Обычно, если эксцесс положителен, то распределение островершинное, если отрицательный – то плосковершинное.

Примеры решения задач

Пример 1.По имеющимся данным о ценах товара в различных фирмах города рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации:

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6 4,1

Решение.

Абсолютные показатели вариации.

R = x_max - x_min= 4,8-4,1=0,7

Для расчета остальных показателей вариации заполним в таблице дополнительные расчетные графы, зная, что =4,4

Цены товара в разных фирмах, х
4,1	0,3	0,09
4,2	0,2	0,04
4,3	0,1	0,01
4,3	0,1	0,01
4,3	0,1	0,01
4,4	0	0
4,4	0	0
4,5	0,1	0,01
4,6	0,2	0,04
4,8	0,4	0,16
Итого	1,4	0,37

Поскольку имеются отдельные значения признака, данные не сгруппированы, применим невзвешенные формулы показателей вариации:

Относительные показатели вариации:

Колеблемость признака в совокупности небольшая, совокупность можно считать однородной по данному признаку.

Пример 2.По имеющимся данным рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации:

Количество филиалов в городе организации, х	Число банков f
		2	2	4	4
		1	5	1	5
		0	0	0	0
		1	4	1	4
		2	4	4	8
Итого	20		15		21

Решение.

R = x_max - x_min=6-2=4

Для расчета остальных показателей вариации заполним в таблице дополнительные расчетные графы.

Поскольку данные представлены в виде дискретного ряда распределения, применим взвешенные формулы показателей вариации.

Для удобства расчетов округлим значение =4,05 до =4

Относительные показатели вариации:

Колеблемость признака в совокупности достаточно высокая, но <33%, поэтому совокупность можно считать однородной по данному признаку.

Пример 3.

Имеются следующие данные о выработке рабочих и их квалификации.

Определить, влияет ли фактор квалификации рабочего на его выработку, рассчитать коэффициент детерминации.

Решение.

Для расчета коэффициента детерминации воспользуемся правилом сложения дисперсий. Дополним таблицу дополнительными расчетными графами.

Выработка, х	Рабочие 3 разряда, f	xf				Рабочие 4 разряда, f	xf
Итого

1) Для расчета внутригрупповых дисперсий рассчитаем сначала внутригрупповые средние (по формуле средней взвешенной)

Внутригрупповые дисперсии:

2) Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная из внутригрупповых дисперсий, где весами выступает численность групп:

3) Для расчета межгрупповой дисперсии сначала определим общую среднюю как среднюю арифметическую взвешенную из групповых средних:

Среднюю можно также вычислить обычным способом.

Как видим, межгрупповая дисперсия, характеризующая различия в величине результативного признака (выработки) за счет факторного признака (квалификации), значительно превышает внутригрупповые дисперсии, которые отражают случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов.

4) Общую дисперсию найдем по правилу сложения дисперсий

= + =0,91+2,2=3,11

Общую дисперсию можно также вычислить обычным способом.

5) Долю вариации результативного признака (выработки) под влиянием факторного (квалификации) показывает коэффициент детерминации:

Таким образом, различия в величине выработке рабочих на 70,7% объясняются различиями в их квалификации, а на 29,3% - влиянием прочих факторов.

Пример 4.По имеющимся данным о ценах товара в различных фирмах города рассчитать показатель асимметрии распределения:

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6 4,1

Решение.

Зная, что

=4,4

Мо=4,3

,

вычислим

Значение показателя асимметрии говорит о наличии значительной правосторонней асимметрии.

Тема 5

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод.

1. Понятие о выборочном исследовании

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5-10%, реже до 15-25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью (или выборкой).

Значение выборочного метода состоит в том, что при меньшей численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется с меньшими затратами и в более короткие сроки, повышая оперативность статистической информации.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной степени отличаться от состава генеральной совокупности. Это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Способы определения ошибки выборки при различных приемах формирования выборочной совокупности и распространение характеристик выборки на генеральную совокупность составляют основное содержание статистической методологии выборочного метода.