Приведите примеры линейных операторов.

78. Преобразование базиса в линейном пространстве

Совокупность линейно независимых элементов пространства R называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства R существуют вещественные чиcла такие, что выполнено равенство

79. Запишите формулы, выражающие связь между вектором и его образом

80. Матрицей линейного операторав базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

81..Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, что

.

λ – собственное значениеоператора , соответствующее вектору .

Как найти собственные значения матрицы?

Как найти собственные векторы матрицы Задача
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Составляем характеристическое уравнение и находим его решение.

Собственные значения:
Найдем собственные вектора.
, ;
, .

Запишем общие решения этих систем:

Собственные вектора:

Какой вид имеет матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов?

Если в существует базис из собственных векторов линейного оператора то матрица линейного оператора будет диагональной в этом базисе.

85. Квадратичной формой от n-переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

,

где - действительные числа, причем .

Матрица квадратичной формы

Матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы, называют матрицей квадратичной формы.

Примеры квадратичных форм от двух и трех переменных

Квадратичная форма от двух переменных

f(х₁, х₂) =

квадратичная форма от трех переменных f(х₁, х₂, х₃ ) = + + + .

Изменение квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании

Какая квадратичная форма называется канонической?

Квадратичная форма называется канонической, если все

Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любого неотрицательного вектора f(x)>0.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если для любого неотрицательного вектора f(x)<0.

91. Теорема (закон инерции квадратичной формы):

Число положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называемое положительным индексом инерции; число отрицательных коэффициентов называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов называемое дефектом квадратичной формы являются инвариантами, т. е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.

Доказательство: Пусть имеются 2-а базиса, в которых квадратичная форма A(X,X) принимает нормальный вид: в базисе

в базисе .

Здесь полагаем, что т. е. в этих 2-х базисах (и во всех остальных!) нулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы отсутствуют. Очевидно, что для доказательства этой теоремы достаточно предположить, что .

Будем доказывать методом от противного, т. е. предполагаем, что ; пусть, например, .

Рассмотрим следующие пространства: и . Очевидно, что . Применим формулу Грассмана: , т. е. пространство - непустое, следовательно, существует хотя бы один ненулевой элемент , т. к. , то .

Точно также , поэтому . Т. к. , то с одной стороны , с другой стороны . Полученное противоречие доказывает, что .

Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение: Квадратичная форма A(X,X) в вещественном линейном пространстве V называется положительно определенной, если , причем .

Квадратичная форма A(X,X) называется отрицательно определенной, если ; причем

Пусть - базис в V, , тогда , при этом .

Рассмотрим матрицу Ae данной формы

Главными минорами матрицы Ae назовем определители (окаймляющие левый верхний угол матрицы) .