Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания факторов на выбранных уровнях, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ) [1, с. 110–128; 13, с. 191–204].

Число опытов N в полном факторном эксперименте определяется выражением:

, (4.2)

где – число уровней каждого фактора; – число факторов.

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях, следовательно

.

Моделью объекта в ПФЭ будет уравнение

. (4.3)

Например, для двухфакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:

(4.4)

Значения коэффициентов в этом уравнении определяют с помощью значений функции отклика, полученных в результате опытов. Величина и знак коэффициента указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора. Коэффициенты при факторах учитывают непосредственное воздействие фактора на параметр оптимизации, а коэффициенты при произведениях факторов учитывают тот факт, что влияние одного фактора может зависеть от уровня, на котором находятся другой или другие.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, которая дает максимальную информацию о действии факторов и их взаимодействиях на параметры оптимизации. При построении матрицы ПФЭ следует учитывать следующее. Число строк равно количеству опытов N. Уровни факторов обозначаются кодированными значениями (+1; –1). Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо «+1» и «–1» пишут только «+» или «–». Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначаются через , , …, .

Матрица планирования трехфакторного эксперимента представлена в табл. 4.2.

Таблица 4.2

План ПФЭ 2³ с взаимодействиями

В первом столбце матрицы проставлены номера опытов, второй – представляет собой значения фиктивного фактора Х₀ (он введен для оценки свободного члена и находится всегда на верхнем уровне), третий, четвертый и пятый столбцы представляют собой собственно матрицу ПФЭ 2³. Они непосредственно используются для проведения эксперимента. Значения факторов в этих столбцах находятся по правилу чередования знаков, в соответствии с которым знаки элементов первого столбца ( ) чередуются через один, второго – через два, третьего – через четыре, четвертого – через восемь и т. д., по степеням двойки, элементы первой строки матрицы имеют отрицательный знак. Шестой, седьмой, восьмой и девятый столбцы отведены под взаимодействия всех возможных вариантов. Знаки в этих столбцах получаются путем перемножения столбцов соответствующих факторов.

Для удобства реализации плана эксперимента составляется рабочая матрица, в которой значения факторов приводятся в натуральных единицах. Рабочая матрица, приведенная в табл. 4.3,разработана для рассмотренного примера (табл. 4.2).

Для исключения влияния систематических ошибок, вызванных внешними условиями (изменением температуры окружающей среды, её влажности, характеристик образцов и т. д.), рекомендуется опыты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности. Порядок проведения опытов следует выбирать по таблице случайных чисел или путём обычной жеребьёвки.

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт необходимо проводить раз.

Таблица 4.3

Матрица планирования и рабочая матрица

Использование приёма рандомизации покажем на примере (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Рандомизированная матрица планирования

Допустим, необходимо провести ПФЭ 2², причём в каждом опыте предполагается осуществить два наблюдения. ПФЭ 2² предполагает проведение четырёх опытов, а с учётом параллельных опытов в нашем примере – 8. Теперь выберем в таблице случайных чисел (прил. 4) ряд чисел с 1 по 8, допустим, следующий: 4, 2, 5, 6, 7, 3, 8 и 1 (ряд не должен иметь повторений). Следовательно, именно такую последовательность должны иметь наблюдения (табл. 3.3).Это значит, что по времени будут начинать с опыта № 4 (порядковый номер 8), затем выполнять опыт № 1 (порядковый номер 2) и т. д.

4.3. Расчет реализованного плана ПФЭ

Расчет реализованного плана ПФЭ заключается в определении коэффициентов уравнения регрессии, значимости этих коэффициентов и установлении адекватности уравнения (соответствия принятой математической модели процесса экспериментальным данным).

Уравнение адекватно описывает результаты опытов, если квадратические отклонения значений выходного параметра (рассчитанных по уравнению регрессии) от экспериментальных данных обусловлены только погрешностью воспроизводимости (т. е. точности воспроизведения результатов опыта при его повторении в одинаковых условиях).

Последовательность вычислений при обработке результатов исследований рассмотрим на примере реализации матрицы планирования, табл. 4.2. Полагаем, что в результате проведения опытов были получены данные, сведенные в табл. 4.5.

Значения y₁, y₂ в табл. 4.5 представляют собой экспериментальные данные повторных (дублированных) опытов. Для расчёта дисперсии воспроизводимости в эксперименте проводилось равномерное дублирование наблюдений ( ).

Таблица 4.5

Матрица планирования и значения опытных данных

Ν	x1	x2	x3	Параметр оптимизации	Δ yj1	Δ yj2	(Δ yj1)2= (Δ yj2)2	Sj2
y1	y2
	–	–	–	80,23	81,93	81,08	-0,85	0,85	0,723	1,446
	+	–	–	86,50	84,80	85,65	0,85	-0,85	0,723	1,446
	–	+	–	82,45	82,10	82,27	0,18	-0,18	0,032	0,064
	+	+	–	89,50	91,30	90,40	-0,90	0,90	0,810	1,620
	–	–	+	85,10	84,30	84,95	0,15	-0,15	0,023	0,046
	+	–	+	90,30	89,60	89,95	0,35	-0,35	0,123	0,246
	–	+	+	85,60	84,90	85,25	0,35	-0,35	0,123	0,246
	+	+	+	88,02	88,48	88,25	-0,23	0,23	0,053	0,106
∑									2,610	5,220

Величина является средним арифметическим повторных опытов:

, (4.5)

где – номер параллельного опыта; – значение параметра оптимизации в -м параллельном опыте -й строки матрицы, п – число повторных опытов (в рассматриваемом случае, в табл. 4.4 п=2).

Рассчитаем средние значения параметра оптимизации для каждого опыта. Для первого опыта имеем:

и аналогично находим искомые значения для остальных опытов, помещая их в соответствующий столбец (табл. 4.5).

Далее находим , которые для первого опыта имеют величины:

;

Аналогично находим значения для остальных опытов и результаты заносим в соответствующие столбцы, как и величины ( у_j1)²=( у_j2)².

Первой задачей, стоящей перед исследователем после реализации плана, является оценка экспериментальных данных на воспроизводимость. С этой целью рассчитываются построчные дисперсии серий опытов по формуле

. (4.6)

В первом опыте имеем:

,

а остальные значения приведены в соответствующем столбце табл.3.5. Подсчитаем сумму этого столбца (она равна ) и выделим в нём максимальную дисперсию

Далее определяется сумма всех дисперсий , где – число опытов.

Зная сумму построчных дисперсий, можно оценить воспроизводимость опытов по критерию Кохрена :

(4.7)

При опыты воспроизводимы (статистически однородны). При необходимо принять при проведении исследования более точные методы и средства измерения.

Например, имеем

Здесь значение определено (см. прил. 5) при уровне значимости , числе степеней свободы и числе опытов

Так как значения критерия Кохрена по опытным данным не превосходят его критического значения, взятого из таблицы, может быть сделан вывод о достаточно хорошей воспроизводимости опытов. Если бы по расчету оказалось, что , опыт с максимальной дисперсией следовало бы исключить из рассмотрения или, в лучшем случае, повторить его с целью выяснения вопроса, случайным ли было отклонение.

Если дисперсии опытов однородны, то вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента :

. (4.8)

Так как в рассматриваемом примере дисперсию воспроизводимости находим по формуле:

.

Уравнение регрессии ПФЭ 2³ имеет вид:

Если установлено, что опыты в точках плана воспроизводятся достаточно хорошо (ряд построчных дисперсий однороден), производится расчет коэффициентов уравнения регрессии:

свободный член

; (4.9)

коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты

; (4.10)

коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия

, (4.11)

где – номера факторов; – кодированные значения факторов и в -м опыте.

Для расчета коэффициентов уравнения регрессии составляется план в соответствии с табл. 4.2–табл. 4.6, строки которой и заполняются в процессе вычислений.

Каждая строка табл.4.6 заполнена, как это следует из таблицы, одними и теми же числами. Однако знаки при этих числах разные, они меняются в соответствии с правилом чередования знаков расчетной матрицы. Числа в столбцах суммируются (с учетом знаков). Полученные значения заносятся в строку суммы.

Следовательно, модель имеет следующий вид:

Таблица 4.6

Расчет коэффициентов уравнения регрессии

№
	–81,08	–81,08	–81,08	+81,08	+81,08	+81,08	–81,08	81,08
	+85,65	–85,65	–85,65	–85,65	–85,65	+85,65	+85,65	85,65
	–82,27	+82,27	–82,27	–82,27	+82,27	–82,27	+82,27	82,27
	+90,40	+90,40	–90,40	+90,40	–90,40	–90,40	–90,40	90,40
	–84,95	–84,95	+84,95	+84,95	–84,95	–84,95	+84,95	84,95
	+89,95	–89,95	+89,95	–89,95	+89,95	–89,95	–89,95	89,95
Окончание табл. 4.6
	–85,25	+85,25	+85,25	–85,25	–85,25	+85,25	–85,25	85,25
	+88,25	+88,25	+88,25	+88,25	+88,25	+88,25	+88,25	88,25
∑	20,7	4,56	9,04	1,6	4,72	7,36	5,6	687,84
	b1= 2,59	b2= 0,57	b3=1,13	b12= 0,20	=–0,59	=–0,92	=–0,70	85,98

Вычислив коэффициенты регрессии, проверяют их значимость. Одним из способов является оценка с помощью -критерия Стьюдента. Расчётное значение критерия Стьюдента вычисляют по выражению:

, (4.12)

где – ошибка в определении -го коэффициента;

, (4.13)

где – дисперсия -го коэффициента регрессии (она одинакова для всех коэффициентов модели).

(4.14)

Полученный -критерий сравнивают с табличным (прил. 2). Коэффициент регрессии значим, если .

Критерий Стьюдента вычисляют для каждого коэффициента регрессии. Статистически незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии.

Для расчета критерия Стьюдента найдём дисперсию оценок коэффициентов

и их квадратичную ошибку:

.

Вычислим расчётные значения -критерия Стьюдента и сравним с :

; ; ; ; ; ; .

Табличное значение критерия Стьюдента при доверительной вероятности 0.95 и числе степеней свободы составляет (прил. 2).

Очевидно, что все оценки, за исключением , оказались значимыми. Тогда модель объекта будет иметь вид:

Проверка уравнения на адекватность производится с использо-ванием – критерия Фишера:

. (4.15)

где – дисперсия адекватности и дисперсия воспроизводимости.

Дисперсия адекватности (остаточная дисперсия) , которая характеризует рассеяние эмпирических значений относительно расчётных , определяемых по уравнению регрессии находится следующим образом:

, (4.16)

где п – число повторных опытов; – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в -м опыте; – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий -го опыта; – число степеней свободы равное – число факторов.

Для проведения необходимых вычислений вновь используется расчетная матрица при условии, что столбец исключается из анализа.

Столбцы и т. д. в расчетной матрице заполняются произведениями кодированных значений факторов и их взаимодействий на соответствующие значения коэффициентов при них. Тогда абсолютные значения чисел в каждом из столбцов будут отличаться лишь знаками. Причем для положительных коэффициентов знаки чисел в столбцах будут чередоваться по указанному выше правилу. Для отрицательных коэффициентов все знакипоменяются на противоположные, так как знак минус в матрице, умноженный на знак минус при коэффициенте, даст плюс, а плюс, умноженный на минус, даст минус (табл. 4.7).

Просуммировав построчно значения чисел в табл. 4.7, получаем расчетные значения выходной величины . Далее построчно определяем разности ,значения которых возводятся в квадрат.

Далее находим дисперсию адекватности

и получаем расчётное значение критерия Фишера

.

Табличное значение критерия определяется по числам степеней свободы и (прил. 6). Если , то уравнение регрессии адекватно исследуемому технологическому процессу. Следовательно, это уравнение может служить основой для отыскания оптимальных режимов осуществления процесса.

В рассматриваемом примере табличное значение критерия Фишера при , и доверительной вероятности составляет (прил. 6). Так как расчетное значение критерия Фишера существенно меньше табличного, следовательно, модель является адекватной.

Практическая работа № 4

Тема работы: Применение полного факторного эксперимента в исследованиях технологических процессов изготовления одежды

 

Таблица 4.7

Расчет суммы квадратов отклонений

№
	85,98	–2,59	–0,57	–1,13	–0,59	–0,92	+0,70	80,88	81,08	0,040
	85,98	+2,59	–0,57	–1,13	+0,59	–0,92	–0,70	85,84	85,65	0,036
	85,98	–2,59	+0,57	–1,13	–0,59	+0,92	–0,70	84,46	82,27	0,036
	85,98	+2,59	+0,57	–1,13	+0,59	+0,92	+0,70	90,22	90,40	0,032
	85,98	–2,59	–0,57	+1,13	+0,59	+0,92	–0,70	84,76	84,95	0,036
	85,98	+2,59	–0,57	+1,13	–0,59	+0,92	+0,70	90,16	89,95	0,044
	85,98	–2,59	+0,57	+1,13	+0,59	–0,92	+0,70	85,46	85,25	0,044
	85,98	+2,59	+0,57	+1,13	–0,59	–0,92	–0,70	88,06	88,25	0,036
∑										0,304

 

Цель работы: Овладеть методикой планирования и анализа эксперимента на основе применения ПФЭ и получить математическую модель, описывающую исследуемый технологический процесс.

Методика и порядок выполнения:

Тепловая обработка материалов должна проводиться в интервале наиболее выгодных (оптимальных) для полимера материала температур. Этот интервал определяется температурой тепло- и термостойкости полимеров, из которых изготовлен материал.

Под теплостойкостью полимера понимают предельную температуру, при которой происходит химическое изменение его структуры, не отражающиеся на свойствах. Термостойкость полимера определяет температурный предел его нагревания, при котором происходит разложение материала.

Применительно к влажно-тепловой обработке (ВТО) текстильных материалов различают теплостойкость полимеров и теплостойкость материалов из полимеров.

Под теплостойкостью материала понимают ту температуру, до которой можно нагревать материал при определенной его влажности, нагрузке и времени нагрева, получая при этом обратимые изменениясвойства при последующем охлаждении.

Теплостойкость материала – величина не постоянная. Она зависит от соотношения параметров ВТО: чем меньше нагрузка и время теплового воздействия, тем выше температура, до которой нужно нагревать материал; и, наоборот, при большем давлении и времени обработки, изменения в материалах будут происходить при более низких температурах.

Температуру ВТО смесовых материалов определяют по волокну, которое преобладает в массе материала, и имеет наименьшую температуру термостойкости.

При проведении тепловой обработки очень сложно измерить температуру внутри материала. Поэтому в качестве параметров ВТО обычно указывают температуру нагрева рабочих органов оборудования для ВТО (утюга, пресса). Эта температура на 15 – 20⁰ выше температуры внутри материала.

Теплостойкость и термостойкость, температура ВТО для некоторых видов материалов представлена в (табл. П. 7.1, 7.2).

1. В соответствии с заданием (табл. 4.8) определить факторы и область эксперимента для выбора оптимальных параметров влажно-тепловой обработки ткани. Выполнить кодирование уровней факторов. Результаты представить в форме табл. 4.9.

Таблица 4.8

Варианты задания практической работы 4

Таблица 4.9

Значения факторов и уровней их варьирования

Характеристика	Обозначение	Факторы
Температура, град	Время, с	Количество влаги, %
x1	x2	x3
Основной уровень варьирования Интервалы варьирования: верхний уровень нижний уровень	+1 -1

2. Определить число опытов ПФЭ по формуле 4.2.

3. Построить матрицу планирования ПФЭ 2³ и рабочую матрицу (табл. 4.3).

4. Составить математическую модель (уравнение регрессии), которая может быть получена при реализации плана ПФЭ 2³.

5. Провести обработку результатов эксперимента в соответствии с вариантом задания (табл. 4.10).

5.1. Оценить воспроизводимость опытов и эксперимента по формулам (4.5)–(4.8). Расчеты по определению дисперсии опытов оформить в виде табл. 4.11.

Таблица 4.11

Расчетные данные для определения дисперсии единичного опыта

№ опыта	Δ yj1	Δ yj2	Δ yj3	(Δ yj1)2	(Δ yj2)2	(Δ yj3)2		Sj2
…
∑

5.2. Рассчитать коэффициенты регрессии по формулам (4.9 – 4.11), результаты оформить по аналогии с табл. 4.6.

5.3. Выявить значимость коэффициентов регрессии по формулам (4.12)–(4.14).

5.4. Составить уравнение регрессии с учетом значимости коэффициентов и проверить его на адекватность по -критерию Фишера (формула (4.15)). Промежуточные расчеты по определению дисперсии адекватности оформить в виде табл. 4.7.

6. В выводе указывается вид полученного уравнения регрессии, отмечается его адекватность, анализируется вид связи между параметром оптимизации и факторами.

Содержание отчета по практической работе № 4

1. Значения параметра оптимизации, факторов и уровней их варьирования (табл. 4.8).

2. Матрица планирования, рабочая матрица в виде табл. 4.3.

3. Для планируемого эксперимента записанное в общем виде уравнение регрессии.

Таблица 4.10

Реализация матрицы ПФЭ