Построение двухмерных сечений поверхности отклика

На практике, как правило, большинство задач связано с учетом большого числа факторов ( ), поэтому полученные при этом канонические уравнения громоздки, их анализ затруднен. Кроме того, их построение связано с вычислениями, которые требуют значительных затрат времени. В связи с этим при решении практических задач целесообразно изучать геометрические поверхности, соответствующие найденным математическим моделям с помощью двухмерных сечений указанных поверхностей.

Знание двухмерных сечений поверхности отклика дает возможность получить наглядное представление о законах изменения критерия отклика при варьировании факторов, облегчает интерпретацию результатов эксперимента, способствующих решению компромиссных задач графическим методом.

Для построения двухмерных сечений поверхности используют адекватные математические модели объекта исследований, при этом в известное уравнение регрессии подставляют значение всех факторов, кроме двух (факторы, которые фиксируются, рекомендуется брать на оптимальных уровнях). В результате для выбранной пары факторов получают обычно уравнение типа:

(5.7)

С помощью этих уравнений находят графические зависимости путем построения в области эксперимента линий равных значений отклика, относящихся к рассматриваемому сечению поверхности отклика.

Построение двухмерных сечений поверхности отклика состоит из нескольких этапов.

1. Определение координат нового центра.

Координаты нового центра в старых осях координат (x_is, x_js) получают дифференцированием уравнения регрессии по каждой независимой переменной и приравниванием частных производных к нулю:

(5.8)

Вычисляют определитель системы:

. (5.9)

Решая систему уравнений (5.8), определяют координаты нового центра S в старых осях координат x_is и x_js. Подставив значения x_is и x_js в уравнение регрессии, находят значение параметра оптимизации (y_s) в новом центре.

Не меняя направления осей координат, переносят начало координат в точку , используя соотношения

и (5.10)

Получают уравнение кривой в новой системе координат ( )

. (5.11)

2. Определение угла поворота осей координат в новом центре.

Для исключения парного взаимодействия факторов определяют угол поворота осей координат в точке по формуле

(5.12)

где – угол поворота осей координат (знак «+» – поворот осей координат от оси вверх, знак «–» – вниз).

3. Определение коэффициентов уравнения регрессии в канонической форме.

Коэффициенты уравнения регрессии в канонической форме рассчитывают с помощью следующих уравнений:

(5.13)

(5.14)

(5.15)

В результате канонического преобразования получают стандартное уравнение вида:

(5.16)

Правильность расчетов при каноническом преобразовании оценивают сравнением суммы коэффициентов при квадратичных членах в уравнении регрессии и в каноническом уравнении:

(5.17)

4. Определение вида поверхности отклика.

По уравнению (5.16) определяют, к какому типу относится геометрический образ изучаемой функции отклика.

5. Построение сечений поверхности отклика.

Уравнение (5.16) приводят к каноническому уравнению линии равного значения отклика соответствующей стандартной поверхности. Подставляя в уравнение (5.16) различные значения параметра оптимизации, задаваемые в пределах области эксперимента через равные промежутки, получают уравнения, по которым строят контурные кривые. Результаты расчетов сводят в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Данные для построения контурных кривых

Заданное значение		Каноническое уравнение поверхности отклика	Величины полуосей
а	в

Рассмотрим пример построения двухмерного сечения в виде эллипса.

При исследовании процесса получения сварных соединений найдено уравнение регрессии второго порядка для , являющееся адекватной математической моделью:

(5.18)

Так как трудно представить геометрический образ для всех трех факторов, исследование проводится с помощью двух факторов, например, и . Фиксирование значения третьего фактора осуществляется на нулевом уровне, т.е. .

Подставив в уравнение (5.18) значение , получают следующее уравнение:

(5.19)

Определяют координаты нового центра. Для этого уравнение дифференцируют это по и и приравнивают частные производные нулю:

Вычисляют определитель системы:

.

Определитель не равен нулю, следовательно, исследуемая поверхность имеет центр.

Решают систему уравнений (4.19) методом подстановки, вычисляют координаты нового центра в старых осях координат: , .

Подставляя в уравнение (5.19) вместо и координаты центра и , получают значение параметра оптимизации в центре поверхности отклика:

Переносим начало системы координат в центр фигуры. При параллельном переносе системы координат в центр фигуры в исходном уравнении исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты других членов не изменяются. В новой системе координат свободный член уравнения равен значению параметра оптимизации в центре фигуры.

После переноса начала координат в новый центр уравнение примет вид:

(5.21)

Для исключения парного взаимодействия факторов определяют угол поворота осей координат в точке:

Далее определяют коэффициенты регрессии в канонической форме.

В результате получается уравнение в канонической форме

(5.22)

Практика подтверждает точность расчетов (4.16):

Проводятся старые оси координат и . Граничные значения факторов соответствуют области их определения (в натуральных величинах). В этом примере фактор – время сварки варьируется от 0,5 до 6,5, фактор – сила анодного тока – от 0,55 до 0,95 А. Для нахождения нового центра в старых осях координат используют координаты и . Переход от кодированных значений факторов к натуральным осуществляется по уравнению:

(5.23)

где – натуральное значение -го фактора; – натуральное значение основного уравнения -го фактора; – интервал варьирования -го фактора.

Координаты нового центра в старых осях координат в точке S(4,58; 0,81). Производится поворот осей координат в точке 0 на величину угла , а затем параллельный перенос осей координат в новый центр (точку ).

Построение линий равного значения отклика осуществляется в новой системе координат . Значения параметра оптимизации выбираются через равные промежутки с учетом величин параметра оптимизации в области эксперимента.

При уравнение (5.21) принимает вид:

.

Преобразуем это уравнение в стандартную форму:

или .

Оба коэффициента уравнения положительны, центр фигуры является максимумом, а вытянут эллипс вдоль оси (величина этого коэффициента минимальна).Эллипс пересекается осью в двух точках А( ), а с осью – В( ). От точки по оси откладывают вправо и влево величину ; затем по оси величину в кодированных величинах. Полученные точки соединяют плавной кривой. Для более точного построения можно найти еще несколько промежуточных точек, например, задаемся значением и получаем точку С( ) и т.д. Аналогично строят другие контурные линии. Основой для построения служат данные табл. 5.2, получаемые подстановкой различных значений параметра оптимизации в уравнение (5.22). Кривые с равными значениями параметра оптимизации – эллипса приведены на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Контуры кривых с равными значениями

параметра оптимизации – эллипса

Таблица 5.2

Данные для построения контурных кривых поверхности отклика

		Каноническое уравнение поверхности отклика	Величины полуосей
а	в
	–0,5		0,36	0,52
	–1,5		0,62	0,91
	–2,5		0,8	1,18
	–3,5		0,94	1,39
	–4,5		1,07	1,58
	–5,5		1,18	1,75

После построения кривых поверхности отклика проводится их анализ, и определяются значения факторов, соответствующие оптимальным значениям параметра оптимизации.

Практическая работа № 5

Тема работы: Построение геометрическойповерхности отклика по результатам исследования технологического процесса.

Цель работы: Ознакомится с методикой построения сечений поверхности отклика, и определить закономерность измерения критерия оптимизации при варьировании факторов.

Методика и порядок выполнения:

1. Ознакомиться с методом построения двухмерных сечений поверхностей отклика.

2. Получить задание на вид математической модели процесса (объекта), полученной после реализации матрицы планирования и расчета коэффициентов регрессии (табл. 5.3).

Представленные математические модели найдены в результате исследования технологического процесса сварки с использованием центрального композиционного ротатабельного планирования второго порядка. Выявлена зависимость прочности и жесткости сварных соединений от параметров режима сварки (давление электродов на материал, времени сварки и напряженности электрического поля, характеризуемой силой анодного тока) (табл. 5.4) [16, с. 113–124].

Таблица 5.3

Задания для построения поверхности отклика

Номер варианта	Вид материала	Параметр оптимизации	Уравнение регрессии	Факторы
	Трикотажное полотно арт.	Прочность
	Жесткость
	Искусственная кожа арт.023	Прочность
	Жесткость

Таблица 5.4

Интервалы и уровни варьирования факторов

для сварки материалов

Фактор	Обозначение фактора	Уровень варьирования	Интервал варьирования
нижний -1	нулевой 0	верхний +1
Давление на свариваемый материал, Па трикотажное полотно арт. 271304
искусственная кожа арт. 023
Время сварки, с:
трикотажное полотно арт. 271304		0,5	3,5	6,5	3,0
искусственная кожа арт. 023		3,0	5,0	7,0	2,0
Сила анодного тока, А		0,55	0,75	0,95	0,2

3. Определить координаты нового центра в старых осях координат ( , ) в результате решения системы уравнений (5.8); вычислить значение параметра оптимизации ( ) в новом центре.

4. Определить угол поворота осей координат в новом центре (5.12).

5. Определить коэффициенты уравнения регрессии в канонической форме (5.13)–(5.15) и записать стандартное уравнение вида (5.16).

6. Определить вид поверхности отклика.

7. Построить сечения поверхности отклика.

8. В выводах делается анализ поверхности отклика, указываются оптимальные значения факторов.

Содержание отчета по практической работе № 5

1. Интервалы и уровни варьирования факторов для заданного варианта (табл. 4.3), уравнение регрессии.

2. Расчет координат нового центра и угла поворота осей координат в новом центре.

3. Уравнение регрессии в канонической форме.

4. Характеристика вида поверхности отклика.

5. Расчет данных для построения контурных кривых поверхности отклика, представленный в виде табл. 5.1.

6. Рисунок с построением сечений поверхности отклика.

7. Выводы по работе.

Знание двухмерных сечений поверхностей отклика позволяет судить о закономерностях изменения критерия оптимизации при варьировании факторов, облегчает интерпретацию результатов эксперимента, способствует решению компромиссных задач графическим методом.

Контрольные вопросы

1. С какой целью выполняется каноническое преобразование уравнений?

2. В чем заключается каноническое преобразование уравнений второй степени?

3. Как определяют положение нового центра в старых осях координат?

4. Как производится поворот осей координат?

5. Как определяют вид поверхности отклика?

6. Какова последовательность построения двухмерных сечений?

7. Какую информацию дает анализ семейства кривых?

6. корреляционный анализ

В промышленности и научных исследованиях проводятся опыты, с тем чтобы посредством изменений в технологии повысить качество производимого продукта. При этом исходят из предположения, что изменение независимого признака ( ) влияет на зависимый от него признак ( ), и проверяют правильность этого предположения по результатам испытания. Результаты испытаний, если предполагается линейная зависимость, находятся не на прямой. Из-за погрешностей в технологии они рассеиваются вокруг этой прямой, т. е. представляют собой так называемое облако. В этом случае часто бывает трудно визуально решить, можно ли говорить о зависимости между различными признаками или нет, тем более что из-за неподходящего выбора масштабов по осям координат имеющиеся зависимости могут затушевываться, а не имеющиеся – казаться существующими. Математико-статистическим критерием оценки доказательства таких зависимостей является корреляционно-регрес-сивное исчисление.

Корреляционное исчисление применяется только там, где переменные не подвергаются влиянию со стороны эксперимента, и представляют, следовательно, случайные переменные, в то время как регрессивное исчисление применяется там, где одна переменная , и именно независимая, сознательно варьируется, чтобы определить влияние этого изменения на переменную , зависимую от [1, с. 92–95; 13, с. 277–287].