Канонический анализ математической модели

Каноническое преобразование уравнения второй степени заключается в выборе новой системы координат, в которой уравнение принимает более простой вид [1, с. 169–183]. Новую систему координат получают путем параллельного переноса старой системы в новое начало и поворота координатных осей относительно этого начала. В результате канонического преобразования уравнение (5.1) приводится к стандартному каноническому:

, (5.2)

где и – значения параметра оптимизации ( – в новом начале координат); , ,…, – канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов; , ,…, – коэффициенты уравнения регрессии в канонической форме.

После канонического преобразования уравнения регрессии (при ) можно легко определить, к какому типу относится геометрический образ изучаемой функции отклика, пользуясь известными перечнями стандартных поверхностей второго порядка.

При геометрический образ изучаемой функции можно представить в виде контурных линий. Возможны четыре типа контурных линий. Каждая линия представляет собой проекцию сечений поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа при значениях параметра оптимизации, равных Такие линии называют линиями равного отклика, так как каждая линия соответствует определенному значению параметра оптимизации. Контурные кривые, характеризующие область оптимума, описываемую уравнением второго порядка при числе факторов , приведены на рис. 5.1.

С помощью уравнения регрессии в канонической форме все многообразие поверхностей отклика разделяют на три класса: 1) поверхности, имеющие экстремум (max или min); 2) поверхности типа минимакса; 3) поверхности типа возрастающего возвышения («гребня»).

Эллипсы соответствуют поверхности отклика, имеющей экстре-

мум в центре (рис. 5.1а). Коэффициенты и имеют одинаковые знаки. Если они положительны, то центр фигуры является максимумом, а если отрицательны – минимумом. Эллипс вытянут по той оси, которой соответствует меньший по абсолютной величине коэффициент в каноническом уравнении. В этом случае значение параметра оптимизации увеличивается при движении от центра фигуры по одной оси и уменьшается при движении по другой. Поверхность отклика в почти стационарной области характеризуется серией параллельных прямых, если один из коэффициентов канонического уравнения равен нулю (рис. 5.1в). Поверхность типа возрастающего возвышения («гребня») характеризуется контурными кривыми в виде парабол (рис. 5.1г). Такая поверхность бывает, если один из коэффициентов канонического уравнения близок к нулю. Центр фигуры находится в бесконечности. Гиперболы (рис. 5.1б) соответствуют поверхности отклика типа минимакса. Каноническое преобразование уравнения регрессии соответствует переносу начала координат в новую точку и замене старых осей координат новыми.

Рис. 5.1. Контурные кривые, полученные сечением поверхностей равных значений отклика: a – экстремум; б – минимакс; в – стационарное

возвышение; г – возрастающее возвышение

Первым этапом канонического преобразования является перенос начала координат в особую точку – центр поверхности отклика, что соответствует исчезновению в уравнении типа (5.1) членов первой степени и изменению свободного члена. Для этого дифференцируют уравнение (5.1) по каждой из независимых переменных и приравнивают частные производные нулю. Решая систему полученных уравнений, можно найти координаты нового центра в старых осях координат. Подставляя эти значения в уравнение (5.1), определяют величину поверхности отклика в точке . Если главный определитель рассматриваемой системы уравнений близок к нулю, то поверхность не имеет центра. В этом случае точку помещают в старом начале координат или в какой-либо другой точке с лучшим значением параметра оптимизации.

После переноса центра в точку уравнение (5.1) принимает вид:

, (5.3)

где – новые координаты.

Вторым этапом канонического преобразования является поворот координатных осей в новом начале координат до совмещения их с главными осями геометрической поверхности, соответствующей изучаемой функции отклика. При повороте координатных осей исчезают члены с эффектами взаимодействия и изменяются коэффициенты при вторых степенях. В результате можно получить стандартное каноническое уравнение поверхности второго порядка типа (5.2).

Для определения коэффициентов , ,…, уравнения (5.2) необходимо решить характеристическое уравнение:

. (5.4)

При этом получается кубическое уравнение вида:

. (5.5)

Корни этого уравнения и будут искомыми коэффициентами регрессии , ,…, .

Кубическое уравнение решается известными методами, например, по формулам Кордана или методом приближенного решения Ньютона.

Зная величины коэффициентов , , , можно найти значения направляющих косинусов и получить систему уравнений, с помощью которой новые координаты выражаются через старые:

(5.6)

Уравнение в канонической форме удобно для анализа и оптимизации, так как в него входят все факторы только в квадрате. Величина зависит от знаков коэффициентов и не зависит от направления движения из центра по оси .