Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Еквівалентні перетворення рівнянь

Міністерство освіти та науки України

Харківський національний педагогічний університет

імені Г.С.Сковороди

До захисту

Зав. кафедрою математики

Доктор пед. наук, професор _________ В.Г.Моторіна

(підпис)

Протокол засідання кафедри математики

№___ від ______200__ р.

ДИПЛОМНА РОБОТА

на тему:

" Основні типи рівнянь та їх застосування у вивченні алгебри профільної школи "

Виконала:

студентка V курсу

факультету заочного навчання відділення Математика. Спеціалізація інформатика

Спорник Анна Михайлівна

Науковий керівник:

Доцент, канд. фіз-мат. наук

Пуди А.Ю.

 

Харків-2012 р.

MICT

ВСТУП…………………………………………………....................................... 3

РОЗДІЛ I. OCHOBHI ПИТАННЯ TEOPIЇ РІВНЯНЬ

1.1. Еквівалентні перетворення рівнянь……………………………………………. 6

1.2. Алгебраїчні рівняння………………………………………………………… .. 9

1.3. Загальні теореми…………………………………………………………….. 15

1.4. Системи алгебраїчних рівнянь……………………………………………….. 20

1.5. Трансценденті рівняння……………………………………………………… 23

РОЗДІЛ II. ТЕХНОЛОПЯ ОРГАНІ3АЦІЇ ВИВЧЕННЯ ТЕМИ

«КВАДРАТНІ РІНЯННЯ» КУРСУ АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ……………. 29

ВИСНОВОК…………………………………………………………………… 60

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………. 62

ВСТУП

Навчання математики в основній школі спрямоване на досягнення таких цілей:

• формування в учнів математичних знань як невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення школярів з ідеями і методами математики як універсальної мови науки і техніки, ефективного засобу моделювання і дослідження процесів і явищ навколишньої дійсності;



• інтелектуальний розвиток учнів, розвиток їхнього логічного мислення, пам’яті, уваги, інтуїції, умінь аналізувати, класифікувати, узагальнювати, робити умовиводи за аналогією, діставати наслідки з даних передумов шляхом несуперечливих міркувань тощо;

• опанування учнями системи математичних знань і вмінь, що є базою для реалізації зазначених цілей, а також необхідні у повсякденному житті й достатні для оволодіння іншими шкільними предметами та продовження навчання.

Таким чином, математичні знання і вміння розглядаються не стільки як самоціль, а як засіб розвитку особистості школяра, забезпечення його математичної грамотності як здатності розуміти роль математики в світі, в якому він живе, висловлювати обґрунтовані математичні судження і використовувати математичні знання для задоволення пізнавальних і практичних потреб.

Крім того, вивчення математики має сприяти формуванню в учнів загальнонавчальних умінь, культури мовлення, чіткості й точності думки, критичності мислення, здатності відчувати красу ідеї, методу розв’язання задачі або проблеми, таких людських якостей, як наполегливість, сила волі, здатність до переборення труднощів, чесність, працелюбство та ін.

Незамінні можливості математики у вихованні алгоритмічної культури як здатності діяти за заданим алгоритмом, а також самостійно конструювати нові алгоритми на основі аналізу й узагальнення послідовності виконуваних операцій і дій, що ведуть до шуканого результату.

Рівняння в шкільному курсі алгебри мають значне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему шкільного курсу математики. Сила теорії рівнянь в тому, що вона не тільки має теоретичне значення для пізнання природних законів, але і служить конкретним практичним цілям. Більшість задач реального світу зводиться до розв’язання різних видів рівнянь. Опановуючи способи їх розв’язання, люди знаходять відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв’язок і т.д.). Так само для формування вміння розв’язувати рівняння велике значення має самостійна робота учня. При вивченні будь-якої теми рівняння можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення і розширення теоретичних знань, для розвитку творчої математичної діяльності учнів.

Вибрана тема є актуальна в сучасному світі; це пояснюється тим, що рівняння широко використовуються в різних розділах математики, у розв’язанні важливих прикладних задач.

Для цієї теми характерна велика глибина викладу і багатство встановлюються з її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обґрунтованість викладу. Тому вона займає виняткове становище в лінії рівнянь.

Виходячи з вищесказаного, вибираючи тему, я керувалася її значимістю і складністю при навчанні учнів розв’язуванням квадратних рівнянь різного виду.

Тема: «Основні типи рівнянь та їх застосування у вивченні алгебри профільної школи»

Проблема: використання різноманітних форм роботи з учнями, що сприяє кращому засвоєнню розв’язування квадратних рівнянь різного виду.

Мета роботи:створити методичні розробки занять спецкурсу у 8 класі по темі «Квадратні рівняння».

Виходячи з даної мети, були поставлені наступні завдання:

• вивчити науково-методичну літературу, що стосується вивчення рівнянь;

• проаналізувати шкільні підручники і виділити в них місце рівнянь.

• підібрати, систематизувати додатковий матеріал по даній темі для розробки занять з даного курсу.

Об'єкт дослідження роботи: процес навчання школярів розв’язанню квадратних рівнянь.

Предмет: методичні умови засвоєння розв’язання квадратних рівнянь при викладанні курсу.

 

 

РОЗДІЛ I. OCHOBHI ПИТАННЯ TEOPIЇ РІВНЯНЬ

З початком вивчення систематичного курсу алгебри основна увага приділяється способам вирішення квадратних рівнянь, які стають спеціальним об'єктом вивчення. Для вивчення даної теми за програмою для загальноосвітніх установ відводиться 26 годин [8, 151]. Основна мета – виробити вміння розв’язувати квадратні рівняння і задачі, що зводяться до них.

Еквівалентні перетворення рівнянь

Нехай G позначає множину чисел, так звану основну область, і a, b, c,….., x, y, z – змінні. Це знаки, на місці яких можуть стояти елементи основної області або її підмножин, так званої основної області змінних або області змін. З чисел і змінних можуть бути побудовані алгебраїчні висловлювання, наприклад: 8, , , . Визначення виразу можна поширити на неалгебраїчні висловлювання, до яких відносяться, наприклад, , , , , .

Під областю визначення виразу з n змінними областями зміни x1,x2,….,xn і відповідним областям змін X1, X2,….., Xn розуміють множину всіх послідовностей ( ), (i=1,2,….,n), для яких дане висловлювання переходить в число з області G, якщо змінні хі замінити на .

Якщо G – множина всіх дійсних чисел, то вираз має, наприклад, в якості області визначення всю область змін х, в той час як область визначення виразу , містить всі числа області зміни х, за винятком .

Два вирази Т1 (x1,x2,….,xn), Т2 (x1,x2,….,xn) від змінних x1,x2,….,xn називаються еквівалентними по відношенню до областей визначення X1, X2,….., Xn , якщо відношення Т1 ( ) = Т2( ) виконується для всіх послідовностей ( ) таких, що (i=1,2,….,n).

Про еквівалентне перетворення виразів говорять в тому випадку, коли вираз Т2, отримуємо з Т1 за допомогою цього перетворення, еквівалентно Т1. Однак це залежить ще і від заданих областей зміни; так, =а для невід’ємних дійсних чисел є еквіваленте перетворення, але не є таким для множини всіх дійсних чисел.

Якщо два вирази Т1, Т2, що містять змінні, зв'язати знаком рівності, Т1 = Т2, то отримаємо рівняння; Т1 і Т2 називаються лівою і правою частинами рівняння. Якщо вираз Т1 і Т2 не містять змінних, то висловлення про рівність, яке або істинне, або хибно. Рівняння – висловлювання, яке переходить в істинне або хибне тільки після заміни змінних їх значеннями.

Розв’зання. Множина розв’язків. Нехай Т1 (x1,x2,….,xn)=Т2 (x1,x2,….,xn) є рівняння зі n змінними, і нехай X1, X2,….., Xn – відповідні області зміни змінних. Тоді кожна послідовність чисел ( ), (i=1,2,….,n), елементи , якої, підставити замість відповідних змінних хі в рівняння, перетворюють його в істинне висловлювання, називається розв’язком або коренем цього рівняння. Розв’язати рівняння – означає знайти всі його розв’язки, тобто множину його розв’язків.

Рівняння називається розв’язаним або нерозв’язним в залежності від того, має воно розв’язок чи ні.

Еквівалентні рівняння. Два рівняння з n змінними x1,x2,….,xn, що належать одній і тій самій області перетворення, називаються еквівалентними над цією областюперетворення, якщо множини їх розв’язків збігаються. Наприклад, рівняння х2 = 4 і х3 = 8 еквівалентні над множиною натуральних чисел, але не еквівалентні над множиною цілих чисел, так як в останньому випадку множиною розв’язків суть { – 2, 2} і {2} відповідно.

Рівняння, тотожні по відношенню до однакових областей перетворення, завжди еквівалентні, те ж саме справедливо для двох рівнянь, які не мають розв’язків; якщо два рівняння еквівалентні третьому, то вони еквівалентні один одному (транзитивність еквівалентності)

Еквівалентні перетворення приводять рівняння в еквівалентного. Перетворення, що переводить рівняння G1 в рівняння G2, еквівалентне тільки тоді, коли для множини розв’язків L1 і L2 рівнянь G1 і С2 виконується рівність L1= L2. Якщо, навпаки L1≠L2, то перетворення називається нееквівалентним.

Приклади (областю перетворення надалі завжди буде множина дійсних чисел)

1) Перетворення рівняння G1 : 3х – 4 = 8 + 5х – в G 2: 2х= –12 – є еквівалентним, так як L1= L2 = {–6}.

2) Якщо рівняння подають у вигляді (12+4х) (5-х)=(2х-1) (х + 3), то виконують нееквівалентний перетворення, так як L1= { } { , -3)= L2; в цьому випадку L1 L2. Якщо в якості області змінних брати, наприклад, множину додатніх дійсних чисел, то зазначене перетворення є еквівалентним, тому що в цьому випадку L1= L2= { }.

3) Ще один приклад нееквівалентного перетворення подібного типу дає перехід від > 2х-1 до х + 7 = (2х - 1)2, тому що L1= {2} {2, )= L2.

4) При нееквівалентних перетвореннях розв`язки можуть і губитися, тобто L1 L2. Наприклад, якщо перейти від рівняння G1: х3-4х2= 5х – до рівняння G2 2- 4х-5=0, то отримаємо L1 ={- 1, 0, 5} L2 ={-1, 5}.






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.