Пиши Дома Нужные Работы

Обратная связь

Системи алгебраїчних рівнянь

Якщо задано т рівнянь з п невідомими і потрібно знайти послідовність з п чисел, які одночасно задовольняють кожне з т рівнянь, то ми маємо систему рівнянь. Якщо всі т рівняння лінійні, то говорять про систему лінійних рівнянь; такі системи можуть розв’язуватися методами лінійної алгебри.

Приклад:

а) система двох рівнянь з двома невідомими

маємо розв’язок – пару чисел (2; 1), так як при , обидва рівняння системи перетворюються на тотожність:

б) система чотирьох рівнянь з двома невідомими

маємо розв’язок – пару чисел ( 1; 1), так як при 1, всі рівняння системи перетворюються на тотожності:

в) система двох рівнянь з трьома невідомими

маємо розв’язок – трійку чисел (5; 1; 3), так як при х = 5, у = 1, обидва рівняння системи перетворюються на тотожність:

Розв’язати систему рівнянь означає, що потрібно знайти множину всіх її розв’язків або показати, що вона не має розв’язків.

Якщо система немає розв’язків, то її називають несумісною або суперечною, в іншому випадку – сумісною.

Приклад: розв’язати систему рівнянь (х є R)

Розв’язання: розв’язуючи кожне рівняння системи окремо, отримаємо

1) х = 1 або х = 5,

2) х = або х = 5,

3) х = 5.

Відповідь: х = 5.

Нехай дані дві системи рівнянь:

(8)

i

(9)

в яких через позначено різні невідомі величини.

Система рівнянь (9) називається наслідком системи (8), якщо всі розв’язки системи (8) є розв’язками системи (9).

Скорочено це записують :

(9).

Дві системи рівнянь називають рівносильними (еквівалентними), якщо кожна з них є наслідком іншої або, якщо обидві системи не мають розв’язків.

Скорочено це записують :

(9).

Приклад: довести, що системи рівнянь



(10)

i (11)

рівносильні в множині дійсних чисел (а ≠ 0, b ≠ 0).

Доведення:

a) Нехай система (10), має розв’язок і пара чисел ( ) – будь-який з її розв’язків. Тоді

Помноживши обидві частини першої тотожності на і додамо отриману тотожність до другої, а потім обидві частини другої тотожності помножимо на і віднімемо від отриманого першу тотожність. В результаті отримаємо тотожності

які означають, що пара чисел ( ) – розв’язок системи (11), тобто

(10) (11).

b) Нехай система (11) має розв’язок і пара чисел ( ) – будь-який з них. Тоді

Помноживши обидві частини першої тотожності на , а другої – на – і додавши їх, отримаємо тотожність

,

або

тобто

Помноживши обидві частини першої тотожності на , а другої – на , і додавши отримані тотожності отримаємо:

Таким чином,

а це означає, що будь-який розв’язок системи (11) є розв’язком системи (10), тобто (11)

Від супротивного легко показати, що, якщо будь-яка із даних систем не має розв’язку, то і друга також не має.

Звідси випливає, що (11).

Трансценденті рівняння

Рівняння, в якому невідоме входить в аргумент трансцендентних функцій, називається трансцендентним рівнянням. До трансцендентних рівнянь належать показникові рівняння, логарифмічні та тригонометричні рівняння. В загальному випадку трансцендентні рівняння можуть бути розв’язаними тільки за допомогою наближених методів. В деяких особливих випадках трансцендентні рівняння все ж таки звести до алгебраїчних рівнянь.

Показниковим рівнянням називається рівняння, в якому невідоме входить тільки до показників степенів при постійних основах.

Найпростішим показниковим рівнянням, розв’язок зводиться до розв’язку алгебраїчного рівняння, є рівняння виду

af(x)=b, (12)

де a і b – деякі додатні числа (а ≠ 0). Показникове рівняння (12) еквівалентне алгебраїчному рівнянню

f(x)=logab

В найпростішому випадку, коли f(x)= x, показникове рівняння (12) має розв’язок

х =logab.

Множина розв’язків показникового рівняння вигляду

R(ах)=0 (13)

де R – деякий многочлен, який знаходиться наступним чином.

Вводиться нова змінна у=ах, і рівняння (13) розв’язується як алгебраїчне відносно у. Після цього розв’язання вихідного рівняння (13) зводиться до розв’язання найпростіших показникових рівнянь виду (12).

Приклад: розв’яжіть рівняння

9·8х – 18·4х – 2·2х+4=0.

Записуємо рівняння у вигляді

9(2х)3 – 18(2х)2 – 2·2х+4=0

і вводимо нову змінну у=2х, отримуємо кубічне рівняння відносно змінної у:

9у3 – 18у2 – 2у + 4=0.

Дане кубічне рівняння має єдиний раціональний корінь у1=2 і два ірраціональних – у2 = та у3 = – .

Таким чином розв’язок, початкового рівняння зведено до розв’язання найпростіших показникових рівнянь:

2х=2, 2х= , 2х= – .

Останнє з вищезгаданих рівнянь розв’язку не має. Множина розв’язків першого і другого рівнянь:

х = 1 і х = log2

Деякі найпростіші показникові рівняння:

1) Рівняння виду

αa2x + βax + γ = 0

заміною ax = у зводиться до квадратного рівняння

αу2 + βу + γ = 0.

2) Рівняння виду

αax + βa + γ = 0

заміною ax = у зводиться до квадратного рівняння

αу2 + γу +β = 0.

3) Рівняння виду

αa + β(ab)х + γb = 0

заміною зводиться до квадратного рівняння αу2 + βу + γ = 0.

Логарифмічні рівняння.

Логарифмічним рівнянням називається рівняння, яке містить невідому змінну лише під знаком логарифма.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

loga f(x) = b, (14)

де а – деяке додатне число, відмінне від одиниці, b – будь-яке дійсне число. Логарифмічне рівняння (14) еквівалентне алгебраїчному рівнянню:

f(x)=а b

В найпростішому випадку, коли f(x)=х, логарифмічне рівняння (14) має розв’язок х=а b

Множина розв’язків логарифмічного рівняння виду R (loga x)=0, де R – деякий многочлен вказаного невідомого, знаходиться наступним чином.

Вводиться нова змінна logax=у і рівняння (14) розв’язуються як алгебраїчні рівняння відносно у. Після того розв’язуються найпростіші логарифмічні рівняння виду (14).

Приклад: Pозв’яжіть рівняння

(15)

Відносно невідомого дане рівняння – квадратне:

у2+ у – 2=0.

Корені цього рівняння: у1=1, у2= 2 .

Розв’язуючи логарифмічне рівняння

отримуємо розв’язання логарифмічного рівняння (15): х1=2, х2= .

В деяких випадках для того, щоб звести розв’язання логарифмічного рівняння до послідовного розв’язку алгебраїчного і найпростіших логарифмічних рівнянь, необхідно спершу зробити перетворення логарифмів, які входять до рівняння. Такими перетвореннями можуть бути перетворення суми логарифмів двох величин в логарифм добутку цих величин, перехід від логарифма з однією основою до логарифма з іншою основою і т.д.

Приклад: Розв’яжіть рівняння

(16)

Для того, щоб звести даного рівняння до послідовного розв’язку алгебраїчного і найпростішого логарифмічного рівнянь, необхідно перш за все звести всі логарифми до однієї основи (в даному випадку, до основи 2). Для того скористаємось формулою

за якою Підставивши в рівняння (16) замість рівне йому значення , отримаємо рівняння

Заміною це рівняння зводиться до квадратного рівняння відомого у:

у2 – у – 6=0.

Корені такого рівняння: у1=3, у2= –2 . Розв’яжемо рівняння і :

.

Приклад: Розв’яжіть рівняння

Перетворимо різницю логарифмів двох величин на логарифм їх ділення:

,

зводимо дане рівняння до найпростішого логарифмічного рівняння

.

Тригонометричні рівняння

Тригонометричне рівняння — це рівняння, в якому невідома змінна входить лише під знак тригонометричних функцій безпосередньо або у вигляді лінійної функції від невідомої змінної, при цьому над тригонометричними функціями виконуються лише алгебраїчні дії.

Найпростішим тригонометричним рівнянням називається рівняння вигляду sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, де a — довільне дійсне число. Розглянемо розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь.

1)sin x = a, |a| ≤ 1 x = (-1)k arcsin a + πk, k Z

Окремі випадки:

sin x = 0 x = πk, k Z

sin x = ± 1 x = ± + 2πk, k Z.

2)cos x = a, |a| ≤ 1 x = ± arccos a + 2πk, k Z

Окремі випадки:

cos x = 0 x = + πk, k Z

cos x = 1 x = 2πk, k Z

cos x = 1 x = π + 2πk, k Z.

3)tg x = a x = arctg a + πk, k Z

Окремий випадок:

tg x = 0 x = πk, k Z.

4)ctg x = a x = arcctg a + πk, k Z

Окремий випадок:

ctg x = 0 x = + πk, k Z.

Загального методу розв’язування тригонометричних рівнянь не існує. При їх розв’язуванні перш за все потрібно знайти область визначення рівняння в тій числовій множині, якій воно належить. Потім в області визначення рівняння за допомогою теорем рівносильності та тотожних перетворень зводять дане рівняння до одного або декількох простих рівнянь. Невідоме х або пх + а (п – ціле) входить тільки в аргументи тригонометричних функцій. Тоді, застосовуючи тригонометричні формули, зводимо рівняння до вигляду, який містить лише одну тригонометричну функцію аргументу х. Цю функцію вважаємо рівною у і розв’язуємо алгебраїчне відносно змінної у рівняння. Розв’язавши його, визначаємо (в загальному випадку за допомогою таблиць) невідоме х. При цьому, за періодичність тригонометричних функцій, слід брати до уваги багатозначність розв’язання. При переході від даного рівняння до рівняння, що містить тільки одну тригонометричну функцію щодо х, іноді бувають необхідними нееквівалентні перетворення (наприклад, піднесення до квадрата при наявності радикалів). Тому необхідно зробити перевірку, щоб виключити сторонні корені.

Приклад: 4 sin х = 4 cos2x – 1;

4 sin х = 4 (1 – sin2x) – 1;

після заміни y = sinx отримаємо 4у2 +4у – 3 = 0 з розв’язками . Розв’язок у2 не дає дійсних коренів заданого рівняння (| sin х | ≤ 1); у1 ( = 0, ± 1, ± 2, ± 3, .. .).






ТОП 5 статей:
Экономическая сущность инвестиций - Экономическая сущность инвестиций – долгосрочные вложения экономических ресурсов сроком более 1 года для получения прибыли путем...
Тема: Федеральный закон от 26.07.2006 N 135-ФЗ - На основании изучения ФЗ № 135, дайте максимально короткое определение следующих понятий с указанием статей и пунктов закона...
Сущность, функции и виды управления в телекоммуникациях - Цели достигаются с помощью различных принципов, функций и методов социально-экономического менеджмента...
Схема построения базисных индексов - Индекс (лат. INDEX – указатель, показатель) - относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления...
Тема 11. Международное космическое право - Правовой режим космического пространства и небесных тел. Принципы деятельности государств по исследованию...



©2015- 2024 pdnr.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.