Теореми про еквівалентні перетворення рівнянь

Теорема 1. Рівняння Т₁ = Т₂, еквівалентне рівнянню = , якщо Т₁ еквівалентно і Т₂ еквівалентно .

Теорема 2. Рівняння Т₁ = Т₂ еквівалентно рівнянню Т₂ = Т₁

Теорема 3. Рівняння Т₁ = Т₂ еквівалентно рівнянням Т₁ + Т₃ = Т₂ + Т₃ і Т₁ – Т₃ = Т₂ – Т₃, якщо Т₃ є виразом, який визначений у всій області визначення рівняння Т₁= Т₂.

Теорема 4. Рівняння Т₁ = Т₂ еквівалентно рівнянням Т₁Т₃ = T₂T₃ і Т₁: Т₃= Т₂: Т₃ , якщо T₃, визначене і відмінне від нуля у всій області визначення рівняння Т₁ = Т₂.

Щоб розв'язати рівняння, тобто щоб знайти множину його розв’язків, в загальному випадку за допомогою еквівалентних перетворень складають ланцюжок рівнянь: перше є задане рівняння, а останнє – рівняння такої простої структури, що його розв’язок можна знайти безпосередньо за побудовою. Кожні два сусідніх рівняння ланцюжка еквівалентні один одному; внаслідок транзитивності еквівалентності, еквівалентні один одному всі рівняння ланцюжка, перше рівняння еквівалентне останньому. Якщо знайти множину розв’язків останнього рівняння, то ми знайдемо множину розв’язків початкового рівняння.

Наприклад:

1)

2)

3)

4) 20=2х;

5) х=10.

Здійснені перетворення еквівалентні для всіх x ≠ –2; 0; 2. Відповідно шукана множина розв’язків: L₁= L₅= {10}.

Алгебраїчні рівняння

Загальні поняття. Канонічна форма. Будь-яке рівняння виду Р (х₁,...,х_п) = 0, де Р (х₁,...,х_п) – многочлен (відмінний від нуля) відносно х₁,...,х_п, називається алгебраїчним рівнянням відносно змінних х₁,...,х_п. Коефіцієнти многочлена при цьому можуть бути як постійними, так і параметрами (тобто змінними, відмінними від х₁,...,х_п ) або функціями таких параметрів.

У відповідності зі сказаним, наприклад, 3х² – х + 5 = 0, х – 1 = 0 – алгебраїчні рівняння відносно х, а х² + 2у² – ху – 3 = 0 – алгебраїчне рівняння відносно х і у. Рівняння у³ – у sin х – 2 sin² х – 7 = 0 не є алгебраїчним відносно х і у, але якщо х розглядається як параметр, то і це рівняння буде алгебраїчним відносно у.

Неалгебраїчними рівняннями є, наприклад, , sin x

Серед неалгебраїчних рівнянь ті рівняння, в яких змінні, що розглядаються як невідомі, входять під знаки трансцендентних функцій, називаються трансцендентними рівняннями.

Іноді неалгебраїчні рівняння можна перетворити на алгебраїчні.

Приклади:

Рівняння еквівалентне алгебраїчному рівнянню 2х² + 3х – 20 = 0. Рівняння нееквівалентне жодному з алгебраїчних рівнянь; воно виконується для всіх х, крім х = 3 і х = 5.

Будь-яке алгебраїчне рівняння відносно х можна записати у такому вигляді:

;

A_і називаються коефіцієнтами рівняння, п – його степенем.

Якщо всі коефіцієнти A_і є параметрами, то рівняння називається загальним алгебраїчним рівнянням відносно х в степені п.

Якщо алгебраїчне рівняння поділити на , то, позначивши , отримаємо канонічну форму алгебраїчного рівняння n-го стeпеня відносно х:

Корені алгебраїчних рівнянь тільки до четвертого степеня включно виражаються через коефіцієнти за допомогою скінченого числа алгебраїчних операцій. У цьому випадку кожен розв’язок виражається в радикалах, тобто являє собою вираз, який виникає за допомогою вкладення один в одного декількох коренів; показники цих коренів – цілі числа р ≥ 2, а підкореневі вирази суть раціональні функції коефіцієнтів або самі містять радикали.

Алгоритми розв’язування алгебраїчних рівнянь з однією невідомою:

Лінійним рівнянням називається рівняння першого степеня.

ах + b = 0, (1)

де a і b – деякі дійсні числа.

Лінійне рівняння завжди має єдиний корінь , який знаходиться наступним чином.

Додаючи до обох частин рівняння (1) число–b, одержуємо рівняння

ах = –b, (2)

еквівалентне рівнянню (1). Поділивши обидві частини рівняння (2) на величину а ≠ 0, отримаємо корінь рівняння (1):

Квадратні рівняння.

Рівняння виду

(3)

де – дійсні числа, причому а ≠ 0, називаються квадратним рівнянням. Якщо а = 1, то квадратне рівняння називають зведеним; якщо а ≠ 1, – то незведеним. Числа називають так: – перший коефіцієнт, другий коефіцієнт, вільний член.

Корені рівняння знаходять за формулою:

(4)

Вираз D= називають дискримінантом квадратного рівняння (1).

Якщо D<0, то рівняння (1) не має дійсних коренів;

Якщо D=0, то рівняння має один дійсний корінь;

Якщо D>0, то рівняння має два дійсних кореня.

У випадку, коли D= 0, інколи говорять, що квадратне рівняння має два однакових кореня.

Скориставшись позначенням D= , формулу (4) можна записати у такому вигляді .

Якщо b = 2k, то формула (4) має вигляд:

Отже, , де (5)

Формула (5) зручна в тих випадках, коли ціле число, тобто b – ціле число.

Приклад:

Розв’язати рівняння х² – 6х + 9 = 0. В даному випадку а = 1, b = – 6, с = 9. За формулою (5) знаходимо , тобто х = 3 – корінь рівняння.

Неповні квадратні рівняння. Якщо в квадратному рівнянні другий коефіцієнт b або вільний член с дорівнюють нулю, то квадратне рівняння називають неповним. Неповні рівняння виділяють тому, що для знаходження їх коренів можна не користуватися формулою для знаходження коренів квадратного рівняння – легше методом розкладання його лівої частини на множники.

Приклад:

Розв’язати рівняння 2х² – 5х = 0.

Маємо х (2х – 5) = 0. Значить, або х = 0, або 2х – 5 = 0, тобто х = 2,5. Отже, рівняння має два корені: 0 і 2,5.

Кубічне рівняння — алгебраїчне рівняння виду , де .

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду:

.

Це можна зробити шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт a після чого провівши заміну змінної .

Кубічне рівняння може мати:

· або три різні дійсні корені,

· або три дійсні, два з яких співпадають (тобто, по суті два),

· або три дійсні корені, які співпадають (тобто, по суті один)

· або один дійсний корінь.

Метод Кардано.

Формула Кардано — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду . Вона має вигляд:

Введемо дві змінні u та υ, такі що z = u + υ, підставивши їх в рівняння отримаємо:

введемо додаткову умову для змінних, а саме:

,

підставивши її в рівняння, та використавши ,отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно наступним чином:

,

Всього є три розв'язки рівняння один з них є :

+

Якщо p та q :

· D < 0, то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні;

· D > 0, то всі корені рівняння є дійсними числами.

· D=0, то всі корені рівняння є дійсними числами, причому принаймні два з них є однаковими.

Рівняння четвертого степеня є результатом прирівнювання многочлена четвертого степеня до нуля. Воно має такий загальний вигляд

де .

Рівняння четвертого степеня є рівнянням найвищого степеня, що дозволяє подання загального розв'язку у радикалах.

1-й спосіб розв’язання. Розкладання на лінійні множники. В тому випадку, коли можна розкласти многочлен то рівняння множину розв’язків {α, β, γ, δ}. Досить знайти розклад лівої частини рівняння 4-го степеня, у вигляді добутку двох квадратних тричленів: тоді розв’язання рівняння 4-го степеня, зводиться до розв’язання двох квадратних рівнянь.

2-й спосіб. Якщо корені кубічної резольвенти, то

,

,

розв’язки зведеного рівняння (при цьому знаки перед радикалами вибирають так, щоб ). Далі внаслідок заміни знаходять розв’язок рівняння 4-го степеня.

априклад: рівняння х⁴ – 25х² + 60х – 36 = 0 має кубічну резольвенту z³ –50z² + 769z – 3600 = 0 з розв’язками z₁ = 9, z₂ = 16, z₃ = 25; для того, щоб , знаки перед всіма коренями потрібно взяти, наприклад, від’ємними, тобто звідси отримаємо корені початкового рівняння: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, х₄ = 6.

й спосіб. Якщо в рівнянні

d=0, b=0, то ми маємо так зване біквадратне рівняння: . Внаслідок заміни х² = t це рівняння зводиться до квадратного рівняння . Із розв’язків t₁ і t₂цього рівняння, вважаючи, що х² = t, отримаємо корені початкового рівняння 4-го степеня.

Якщо коефіцієнти рівняння

задовольняє співвідношення то рівняння 4-го степеня може бути розв’язаним за допомогою квадратного рівняння:

Після заміни задане рівняння 4-го степеня перетворюється на рівняння , розв’язавши яке отримаємо корені початкового рівняння.

Рівняння вищих степенів.

Рівняння 5-го і вищих степенів в загальному випадку не можна розв’язати в радикалах. Частіше за все їх розв’язують наближеними методами. Якщо можна підібрати розв’язок х₁, то виділенянням лінійного множника (х х₁ ) розв’язок заданого рівняння зводиться до розв’язання рівняння меншого степеня.

Часткові випадки розв’язання рівнянь вищих степенів. т розв’язків х₁, х₂,…, х_т двочленного рівняння х_т = а ( т > 1 – ціле, а – додатне) отримують за допомогою формули Муавра у вигляді

Рівняння х^2т + ах^т + b = 0 за допомогою заміни х^т = у зводиться до квадратного рівняння у² + ау + b = 0. Якщо воно має розв’язки у₁, у₂, то за допомогою двочлених рівнянь х^т = у₁ або х^т = у₂ знаходять корені початкового рівняння.

Загальні теореми

Основна теорема алгебри

Кожне алгебраїчне рівняння п-го степеня

х^п+а₁х^п-1+…+а_п-1х+а_п=0,

коефіцієнти якого а_і (і = 1,…, п) – дійсні або комплексні числа, має рівно п коренів, дійсних або комплексних, якщо k-кратний корінь вважати за k корінь.

Якщо корені многочлена Р_п(х) дорівнюють х₁, х₂, ….,х_п і їх кратності відповідно дорівнюють а₁, а₂,…, а_п , то многочлен запишемо у вигляді добутку:

і відповідно рівняння має вигляд

Розв’язання рівняння Р_п(х)=0 можна спростити шляхом переходу до рівняння, яке має ті ж самі корені, що і Р_п(х)=0, але вже однократні (прості). Так як кратні корені многочлена Р_п(х) є також коренями похідної Р_п ´(х), то визначають найбільший спільний дільник Т(х) многочленів Р_п(х) і Р_п ´(х). тоді рівняння Q(х)=0, де Q(х)= , має ті ж самі корені, що і Р_п(х)=0, але кожен з кратний 1.

Теорема Вієта

Теорема Вієта — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Теорема Вієта. Якщо зведене квадратне рівняння x²+px+q=0 має дійсні корені, то їх сума дорівнює –р, а добуток – q, тобто

х₁+х₂= –р,

х₁х₂=q (6)

(сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, який взятий з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену).

Виведемо ще деякі співвідношення між коренями та коефіцієнтамизведеного квадратного рівняння x²+px+q=0.

Знайдемо суму квадратів коренів: .

Скориставшись формулами (6), отримаємо:

(7)

Розглянемо суму кубів коренів. Маємо:

+

Скориставшись формулами (6) і (7), отримаємо:

+ .

Справедлива теорема, яка є оберненою до теореми Вієта.

Теорема 1(обернена до теореми Вієта). Якщо числа х₁ і х₂ такі, що х₁+х₂= –р, х₁х₂= q, то х₁ і х₂ – корені квадратного рівняння x²+px+q=0.

Ця теорема дозволяє в деяких випадках знаходити корені квадратного рівняння без використання формули коренів.

Наприклад: розв’яжіть рівняння х²+9х+14=0

Розв’язання: спробуємо знайти два числа х₁ і х₂, такі, що

х₁+х₂=9,

х₁х₂=14.

Такими числами є 2 і 7. За теоремою Вієта вони є коренями заданого квадратного рівняння.

Теорема Штурма. За допомогою теореми Штурма можна визначити число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами. Перш ніж сформулювати теорему Штурма, опишемо використаний тут алгоритм. Відділимо кратні корені заданого рівняння Р(х) = 0, тобто перейдемо до рівняння Q (x) = 0, яке має ті ж корені, що і дане, але кратності 1. (Нагадаємо, що Q (x) = Р (х) / Т (х), де Т (х) – найбільший спільний дільник Р (х) і Р´(х)). Потім складемо послідовність Q(x), Q´(х), Q₁(x),...., Q_т(x) таким чином (алгоритм Евкліда):

Q (x) = R₁ (x) Q´(х) – Q₁(x),

Q´(х) = R₂(х) Q₁(x) – Q₂(х),

Q₁(x)= R₃(х) Q₂(x) – Q₃(х),

……………………………,

Q_т-2(x)= R_т(х) Q_т-1(x) – Q_т(x),

Q_т-1(x)= R_т+1(х)Q_т(x),

(ділення з остачею); Q_і – остача від ділення, взята з протилежним знаком.

Так як в послідовності Q(x), Q´(х), Q₁(x),...., Q_т(x) степеня многочленів монотонно зменшуються, то процес поділу закінчиться після кінцевого числа кроків. Як відомо, за допомогою такого ділення з остачею знайдеться найбільший спільний дільник початкових многочленів Q(х) і Q'(x). Але так як за припущенням Q(x) має тільки прості корені, то найбільший спільний дільник Q_т(x) многочленів Q(х) і Q'(x) є постійним.

Поклавши в многочленах х = ( – дійсне), отримаємо послідовність дійсних чисел Q( ), Q´( ), Q₁( ),...., Q_т( ). Якщо в цій послідовності два сусідніх числа мають різні знаки, то говорять про зміну знака. Нехай w ( означає число зміни знаку, причому якщо деякі з чисел Q_і ( ) – нулі, то при підрахунку числа змін знаків їх пропускають.

Теорема Штурма стверджує: якщо а і b (а < b) не є коренями Q(x), то різниця w (a) - w (b) дорівнює числу дійсних коренів Q(х) на проміжку [а, b].

Щоб знайти число всіх дійсних коренів рівняння, потрібно знайти проміжок, на якому лежать всі корені, і застосувати до нього теорему Штурма. Для цього служить

Правило Ньютона. Нехай

Р (х) = а₀х^п+ а₁х^п-1+….+а_п-1 х+а_п = 0, а₀> 0,

– рівняння п-го степеня. Число g таке, що Р (х)> 0, Р´(х)> 0, ..., Р^(п-1)(х)> 0 для всіх х> g, є верхня межа дійсних коренів рівняння Р(х) = 0 . Число h є нижня межа дійсних коренів цього рівняння, якщо - h є верхня межа дійсних коренів рівняння Р (–х) = 0.

Приклад. Знайти число дійсних коренів рівняння х⁴ – 5х² + 8х – 8 = 0. Маємо:

Р (х) = х⁴-5х² + 8х-8,

Р´(х)=4х³-10х + 8,

Р "(х) = 12х² – 10,

Р´´´ (х) = 24х.

Зауважимо, що Р´´´ (х) > 0 для всіх х> g, якщо g 0. Далі, Р "(х) > 0 і Р´(х)> 0 для g > 1, але Р(1) <0. Так як Р (х)> 0 при х> 2, то g = 2 є верхня межа всіх дійсних коренів цього рівняння. Якщо цей метод застосувати до Р (-х) = х⁴–5х²–8х–8, то в якості верхньої межі отримаємо 3, тобто h = –3 є нижня межа всіх дійсних коренів заданого рівняння. Отже, всі дійсні корені даного рівняння лежать на проміжку [–3. 2]; визначимо їх число за допомогою теореми Штурма. Насамперед зауважимо, що Р(х) не має кратних коренів. Обчислимо многочлени:

Р (х) = Q (х) = х⁴–5х² + 8х – 8,

Р´ (х) = Q´ (х) = 4х³ –10х + 8,

Q₁(х) = 5х² – 12х + 16,

Q₂(х)= –3x + 284,

Q₃(х) = –1

Так як надалі важливий тільки знак цих многочленів, то для спрощення обчислення многочленів Q_і ділене чи дільник можна помножити на постійний додатній множник. При х= –3 отримуємо послідовність 4, –70, 97, 293, –1; при х = 2 – послідовність 4, 20, 12, 278, –1. Таким чином, w (–3) = 3, w (2)=1 і рівняння має w (–3) – w (2)= 2 дійсних кореня. Якщо обчислити ще, наприклад, w (0)=2, то ми знайдемо, що один корінь знаходиться в інтервалі (–3, 0), інший – в інтервалі (0, 2).

Правило знаків Декарта. Число додатніх коренів (підрахованих з урахуванням їх кратності) рівняння

Р (х) = а₀х^п+ а₁х^п-1+….+а_п-1 х+а_п = 0

не більше числа змін знака в послідовності а_о, а₁,…, а_п коефіцієнтів Р (х) і може відрізнятися від нього лише на парне число. Якщо рівняння має тільки дійсні корені, то число його додатніх коренів дорівнює числу змін знака в ряду коефіцієнтів.

Приклад. Коефіцієнти рівняння х⁴ + 2х³– х² + 5х – 1 = 0 мають знаки +, +, –, +,–,тобто знак змінюється тричі. Згідно з правилом Декарта це рівняння має або три, або один додатній корінь. Так як при заміні х на –х корені рівняння змінюють знаки, а при заміні х на х + h їх величини змінюються на h, то за допомогою правила Декарта можна оцінити число від’ємних коренів, а також число коренів, більших h . В нашому прикладі за допомогою заміни х на –х отримаємо, що х⁴ – 2х³– х² – 5х – 1 = 0, тобто рівняння один від’ємний корінь. Заміна х на х + h дає рівняння х⁴ + 6х³+11 х²+13х +6= 0, тобто всі додатні корені нашого рівняння (число яких 1 або 3) менше 1.

Зокрема, кожне рівняння парної степеня, перший і останній коефіцієнти якого мають різні знаки має щонайменше один дійсний корінь. Кожне рівняння непарного степеня має щонайменше один дійсний корінь знаку (–а_п/а₀); число його дійсних коренів іншого знаку – парне число (або нуль)

Правило Декарта також дозволяє оцінити число дійсних коренів рівнянні Р(х)=0 на проміжку [а, b]. Для цього треба застосувати правило знаків наведеним вище способом до рівняння Р(у)=0, де у= .