III. Пояснення нового матеріалу

Алгебра виникла у зв’язку з розв’язанням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, виконаних над невідомими та даними величинами. Такі завдання зводяться до розв’язання одного або системи кількох рівнянь, до знаходження невідомих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчаються загальні властивості дій над величинами.

Деякі алгебраїчні прийоми розв’язання лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавилоні.

Квадратні рівняння в Стародавньому Вавилоні

Необхідність розв’язувати рівняння не тільки першого, але і другого степеня ще в давнину була викликана потребою розв’язувати задачі, пов’язані зі знаходженням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв’язувати близько 2000 років до нашої ери вавілоняни. Застосовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна сказати, що в їхні клинописних текстах зустрічаються, окрім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

Правило розв’язання цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти наводять тільки задачі з розв’язками, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття від’ємного числа і загальні методи розв’язання квадратних рівнянь.

У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд задач з поясненнями і розв’язаних за допомогою складання рівнянь різних степенів.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення розв’язання вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його задач.

Задача.

«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток – 96».

Діофант розмірковує наступним чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що, якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнювював б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їхньої суми, тобто 10 + х. Інше ж менше, тобто 10 – х. Різниця між ними 2х. Звідси рівняння:

(10 + x) (10– х) = 96,

або ж

100 – x² = 96,

x² – 4 = 0.

Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Розв’язок х = –2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише додатні числа.

Якщо розв’язати цю задачу, обираючи як невідоме одне з шуканих чисел, то можна прийти до розв’язання рівняння:

y (20 – y) = 96,

y² – 20y +96 = 0

Зрозуміло, що, беручи за невідоме піврізниці шуканих чисел, Диофант спрощує розв’язання; йому вдається звести задачу до розв’язання неповного квадратного рівняння.

Квадратні рівняння в Індії

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:

ax² + bх = с, а > 0. (1)

В рівнянні (1) коефіцієнти, можуть бути і від’ємними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені публічні змагання з розв’язання складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і розв’язуючи алгебраїчні задачі». Задачі часто мали віршовану форму.

Ось одне із задач знаменитого індійського математика XII в. Бхаскара.

Задача.

Розв’язання Бхаскара свідчить про те, що автор знав про двозначності коренів квадратних рівнянь.

Рівняння, яке відповідає задачі:

,

Бхаскара пише під виглядом:

x² – 64x = –768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 322, потім отримує:

x² – 64х + 322 = –768 + 1024,

(х – 32) ² = 256,

х – 32 = ± 16,

x₁ = 16, x₂ = 48.

Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі

У алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:

1) «Квадрати рівні кореням», тобто ах² = bх.

2) «Квадрати рівні числу», тобто ах² = с.

3) «Корені рівні числу», тобто ах = с.

4) «Квадрати і числа дорівнюють кореням», тобто ах² + с = bх.

5) «Квадрати і корені рівні числу», тобто ах² + bх = с.

6) «Корені і числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с = ах².

Для Аль-Хорезмі, який уникав застосування від’ємних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не зменшуване та від’ємник. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає додатніх розв’язків. Автор викладає способи розв’язання зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мукабала. Його розв’язки, звичайно, не співпадають повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що вони чисто риторичне, слід відзначити, наприклад, що при розв’язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує розвязку ріного нулю, ймовірно, тому, що в конкретних практичних задачах воно не має значення. При розв’язанні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на власних числових прикладах викладає правила розв’язання, а потім їх геометричні докази.

Наведемо приклад.

Задача.

«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь »(мається на увазі корінь рівняння х² + 21 = 10х).

Розв’язання: поділимо на 2 число коренів, отримаємо 5, помножемо 5 саме на себе, від добутку віднімемо 21, залишиться 4. Добудемо корінь з 4, отримаємо 2. Віднімемо 2 від 5, отримаємо 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додамо 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат Аль-Хорезмі є першою книгою, яка дійшла до нас, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дані формули їх розв’язання.

Квадратні рівняння в Європі XII-XVII ст.

Форми розв’язання квадратних рівнянь за зразком Аль-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв’язання задач і перший в Європі підійшов до введення від’ємних чисел.

Ця книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з цієї книги переходили майже в усі європейські підручники XIV-XVII ст. Загальне правило розв’язання квадратних рівнянь, зведених до єдиного канонічного виду x² + bх = с при всіляких комбінаціях знаків і коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі в 1544 р. М. Штіфелем.

Висновок формули розв’язання квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки додатні корені. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім додатніх, і від’ємні корені. Лише в XVII в. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв’язання квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Витоки алгебраїчних методів розв’язання практичних задач пов’язані з наукою стародавнього світу. Як відомо з історії математики, значна частина задач математичного характеру, що розв’язуться єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писарями-обчислювачами (XX-VI ст. до н. е..), мала розрахунковий характер. Проте вже тоді час від часу виникали задачі, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, які вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для розв’язання таких задач застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавілонські обчислювачі вміли розв’язувати задачі, що зводяться з точки зору сучасної класифікації до рівнянь другого степеня. Був створений метод розв’язання текстових задач, що надалі став основою для виділення алгебраїчного компонента і його незалежного вивчення.

Це вчення здійснювалося вже в іншу епоху спочатку арабськими математиками (VI-Х ст. н.е.). Виділимо характерні дії, за допомогою яких рівняння зводилися до стандартного вигляду зведення подібних членів, перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу зі зміною знака. А потім європейськими математиками Відродження, в результаті тривалого пошуку створили мову сучасної алгебри, використання букв, введення символів арифметичних операцій, дужок і т. д. На рубежі XVI-XVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що володіє своїм предметом, методом, областями додатків, була вже сформована. Надалі її розвиток, аж до нашого часу, полягав в удосконаленні методів, розширенні області додатків, уточнення понять і зв’язків їх з поняттями інших розділів математики.

Отже, зважаючи на важливість і обширність матеріалу, пов’язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики пов’язане з трьома головними областями свого виникнення і функціонування.

ІV. Пiдсумки уроку

Питання до класу:

1. В яких країнах вивчали квадратні рівняння?

2. Вчення яких відомих математиків ви можете назвати та в чому їх суть?

V. Домашнє завдання

Підготувати доповідь про одного з математиків, які вивчали квадратні рівняння.

Урок 2

Тема уроку: «Формули коренів квадратного рівняння з парним другим коефіцієнтом»

Мета уроку:

Навчальна: навчити дітей розв’язувати квадратні рівняння за новою формулою;

повторити раніше вивчений матеріал по темі «Квадратні рівняння»;

Розвивальна: розвивати обчислювальні навички дітей, увагу, пам’ять, математичну мову;

Виховна: виховувати акуратність, вміння аргументувати свою точку зору.

Тип уроку: урок-лекція.

Клас: 8

Обладнання: картки з формулами.

Форми і методи роботи: лекція

Структура уроку

I. Організаційний момент ( 2 хв.)

ІІ. Актуалізація знань ( 5 хв. )

III. Повідомлення теми і мети уроку. ( 1 хв. )

ІV. Пояснення нового матеріалу (20 хв.)

V. Закріплення вивченого матеріалу( 10 хв.).

VI. Пiдсумки уроку ( 5 хв.)

VII. Домашнє завдання ( 2 хв.).

Хід уроку

I. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація знань

Фронтальний опитування.

1. Яке рівняння називають квадратним? (Квадратне рівняння називають рівняння виду вид ах² + bx + c = 0, де а, b, c – будь-які дійсні числа, причому а ≠ 0).

2. В рівнянні 2х +4 х² +1 = 0 (на дошці). Назвіть:

- старший коефіцієнт (4);

- другий коефіцієнт (2)

- вільний член (1).

3. Яке рівняння називають зведеним квадратним рівнянням? Приклад. (Квадратні рівняння називають зведеним, якщо старший коефіцієнт дорівнює Приклад: х² + 3х + 4 = 0).

4. Яке рівняння називають повним квадратним рівнянням? (Повним квадратним рівнянням називають рівняння, в якому є всі три доданків, тобто рівняння, де b, c ≠ 0).

5. Яке рівняння називається неповним квадратним рівнянням?.

6. Що називають коренем квадратного рівняння? (Коренем квадратного рівняння називають всяке значення змінної х, при якому квадратний тричлен ах² + bx + c = 0 звертається в нуль; таке значення змінної х називають коренем квадратного тричлена).

7. Що означає розв’язати квадратне рівняння? (Значить, знайти всі його корені або встановити, що коренів немає).