Алгоритм построения главного меридиана однополостного гиперболоида,

Y(i, l) (образующая - прямая линия).

При построении однополостного гиперболоида, как линейчатой поверхности, главный (фронтальный меридиан) строится по точкам, чем больше точек, тем точнее построения. Рассмотрим алгоритм построения одной точки (Е), взятой на образующей.

Графический алгоритм построения одной точки

Рис. 2-94

Графический алгоритм построения поверхности

Рис. 2-95

1) Задать проекции определителя Y(i, l), i ^ П₁ (рис. 2-95);

2) Распределить точки на l₁, которые определят положение будущих параллелей на П₁ и П₂:

Точка 1(1₁) - определит положение горловой параллели (т.к. это ближайшая точка к оси вращения)

Точка 2(2₁) - определит положение верхней параллели;

Точка 3(3₁) - определит положение нижней параллели и одновременно будет экватором;

Точки 4, 5, 6(4₁, 5₁, 6₁) - промежуточные точки;

3)Точки (1₁.....6₁ ® 1₂....6₂).

4). Далее все точки нужно ввести в плоскость фронтального меридиана (рис. 2-96), используя основное свойство поверхности вращения: каждая точка вращается вокруг оси по окружности (параллели),плоскость которой перпендикулярна оси,

Точки 1₁.......6₁ ® 1₁’.......6₁’

Точки 1₁’.......6₁’ ® 1₂’.......6₂’

Рис. 2-96

6) Полученные точки соединить плавной кривой ® правый полумеридиан (рис. 2-97)

Рис. 2-97

7) Все полумеридианы поверхностей вращения равны, поэтому симметрично правому достраиваем левый (рис. 2-98)

8) Определить видимость поверхности (см. рис. 2-98)

Рис. 2-98

9) А(А₂) и В(В₁) Ì Y, А₁, В₂ = ?

Точки находят так же, как на любой поверхности вращения.

а) Через точку А₂ проводят параллель до пересечения с главным (фронтальным) меридианом (точка М₂), М₂ ® М₁. Через М₁ проводят горизонтальную проекцию этой параллели или замеряют радиус этой параллели на П₂ и проводят на П₁.

Проводят линию связи из точки А₂, которая пересекает построенную параллель в двух точках, выбрать нужно верхнюю, т.к. точка А₂ в скобках, значит она находится за фронтальным меридианом (сзади). Точку А₁ нужно взять в скобки, т.к. она не расположена в зоне видимости (в не заштрихованной зоне).

б) Через точку В₁ проводят параллель (вводят в плоскость фронтального меридиана ® N₁), N₁ ® N₂. Через N₂ проводят фронтальную проекцию этой параллели, из В₁ проводят линию связи ® В₂. Точка В₂ - видима, т.к. В₁ находится перед фронтальным меридианом.

Тор- поверхность вращения 4 порядка

Как Вы думаете, что имеют общего баранка с маком и термоядерный реактор? Да, их объединяет конфигурация торовой поверхности. Форму тора имеют обода маховиков и шкивов, галтели -плавные переходы от одной поверхности изделия к другой, создаваемые с целью уменьшения напряжений в месте перехода.

Поверхность тора образуется при вращении окружности вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. Определитель Q (l, i) l ã i.

Произвольная прямая пересекает тор в общем случае в четырех точках, следовательно это поверхность четвертого порядка (рис. 2-99).

Открытый тор

R < a

Или тор – кольцо. Внутренняя его часть называется глоболоидом

Рис. 2-99

Закрытый тор

(Самосоприкосающийся)

R = a

Рис. 2-100

Закрытый тор

(самопересекающийся)

R > a

(тор - яблоко)

Рис. 2-101

Закрытый тор

(тор - лимон)

Рис. 2-102

Глоболоид

Рис. 2-103

Сконструировать поверхность: тор-кольцо Q (l, i), i ^ П₂ n(n₂) Ì Q, n₁ =?

Алгоритм:

1. Задать проекции элементов определителя (Рис. 2-104)

Рис. 2-104

2. Построить горизонтальную проекцию правого полумеридиана.

Рис. 2-105

3. Достроить левый полумеридиан симметрично правому

4. Фронтальная проекция - это концентрично расположенные особые параллели

a – горло; в – экватор; с – дальняя параллель; d – ближняя параллель

Рис. 2-106

5. Алгоритм построения n₁ (рис. 2-107; 2-108):

Кривую n₁ строят по точкам, используя свойство принадлежности точки поверхности, проводя через точку простейшую линию. Для тора, как и для всех поверхностей вращения, простейшей является параллель (окружность).

а) Сначала выбирают особые точки (рис 2-107): 1(1₂) и 2(2₂) Î экватору, 3(3₂) = 4(4₂) и 7(7₂) = 8(8₂) Î ближней и дальней параллелям, 5(5₂) = 6(6₂) главному меридиану (или образующей l₂), 9(9₂) = 10(10₂) определяют положение точек, максимально приближенных к оси (кратчайшее расстояние между ветвями кривой), т.е. эти точки будут расположены на самых малых параллелях.

Все особые точки, кроме 9,10, находятся без дополнительных построений.

Для построения точек 9,10 проводят через 9₂(10₂) параллели до пересечения с главным меридианом ® K₂(L₂),

Находят положение этих точек K₁(L₁), на П₁, через них проводят горизонтальные проекции параллелей, на которые проводят линии связи из соответствующих точек 9₂(10₂) ® 9₁,10₁.

Рис. 2-107

б) Промежуточные точки (рис. 2-108): 11(12), 13(14), 15(16) строят по аналогии с точками 9(10), с помощью параллелей A₂(B₂), C₂(D₂), M₂(N₂).

Рис. 2-108

в) Плавной кривой соединяют все точки

г) Видимость кривой n₁ определяется ближней и дальней параллелями (точками 7 и 8), т.е. кривая n на П₁ будет видима от точки 7₁ до точки 8₁ через 2₁.

Винтовые поверхности

Как Вы думаете, какое свойство винтовых поверхностей обеспечивает им широкое применение в технике: винты, шнеки, сверла, пружины?

Оказывается эти поверхности могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение, поверхность скользит вдоль самой себя.

Винтовой называется поверхность, которая описывается какой - либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Как уже отмечалось, что винтовое движение является сложным движением, при котором каждая точка образующей совершает одновременно два движения: вращательное и поступательное. При этом вращение происходит вокруг оси винта, а поступательное вдоль оси винта.

Если образующая - прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид является основой образования резьбы.

Геликоиды подразделяются на прямые и наклонные в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или наклонена. Шагом винтовой поверхности называется линейное перемещение образующей за один полный оборот.

Прямой геликоид

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей - l по двум направляющим, оставаясь в любой момент движения ^ оси, F(i, m), А(А₂) Î F, А₁ = ?

i - ось цилиндрической винтовой линии

m - цилиндрическая винтовая линия

Закон каркаса: l Ç i, l Ç m, l ^ i

Прямой геликоид может быть отнесен к числу коноидов и назван винтовым коноидом

(плоскость параллелизма перпендикулярна оси, i и m - направляющие)

Рис. 2-109

Проекции элементов определителя поверхности прямого геликоида

Наклонный геликоид

Наклонный геликоид отличается от прямого тем, что его прямолинейная образующая при винтовом перемещении пересекает ось геликоида под постоянным углом, отличным от прямого. Иначе говоря, образующая (l-прямая линия) наклонного геликоида при винтовом движении скользит по двум неподвижным направляющим (ось и цилиндрическая винтовая линия, как и у прямого), причем во всех своих положениях угол наклона образующей к оси не меняется. Поэтому можно сказать, что образующая в каждый момент движения будет параллельна соответствующим образующим некоторого конуса вращения, называемого направляющим конусом.

Построить наклонный геликоид Ф(i, m)

i - ось цилиндрической винтовой линии

m - цилиндрическая винтовая линия

Закон каркаса: l Ç i, l Ç m, l не ^ i , i ^ П₁

Алгоритм построения

1. Задать проекции элементов определителя: построить цилиндрическую винтовую линию из 12 точек (рис. 2-112);

Проекции элементов определителя наклонного геликоида

Рис. 2-112

Задать проекции направляющего конуса (провести 12 образующих) (рис. 2-111), наклон образующих которого к оси определит угол наклона образующих геликоида. Углы j у образующих конуса (1₂¹) и геликоида (1₂) не искажаются, т. к. эти образующие занимают положение фронтали.

Проекции направляющего конуса

Рис. 2-111

2. Построение геликоида начинаем с горизонтальной проекции. Из точек 1₁ и 2₁ провести образующие геликоида параллельно соответствующим образующим конуса 1₁¹ и 2₁¹ до пересечения с осью – i₁ (рис. 2-113).

Рис. 2-113

3. На фронтальной проекции из точек 1₂ и 2₂ провести образующие геликоида параллельно соответствующим образующим конуса 1₂¹ и 2₂¹ до пересечения с осью – i₂.

4. Остальные образующие геликоида строить таким же образом

Направляющий конус может быть соосным с наклонным геликоидом (рис. 2-114)

Рис. 2-114

5. Определить видимость поверхности, как всегда, с помощью конкурирующих точек, например выбрать фронтально конкурирующие А₂ = В₂, т.е. образующая 3₂ закрывает образующую 2₂, направляющая и образующие от точки 8 до точки 10 - невидимы.

6. Обвести проекции поверхности на П₂ с учетом видимости. Очертание геликоида на фронтальной проекции получается как огибающая семейство прямолинейных образующих.

7. В сечении геликоида плоскостью Y(Y₂), перпендикулярной ее оси, получается спираль Архимеда.

Каркас образующих наклонного геликоида можно построить и без применения направляющего конуса.

Образующие 1₂М₂ и 13₂N₂ || П₂, т.е. занимают положение фронталей, поэтому при заданном угле наклона образующей геликоида сразу определяют положение точек М₂ и N₂.

Расстояние (шаг) между этими точками делят на 12 равных частей и соединяют с соответствующими точками на цилиндрической винтовой направляющей.

Контрольные вопросы

1. Что означает "кинематический принцип образования поверхности"?

2. Что называется определителем поверхности?

3. Какие поверхности называются линейчатыми?

4. Сформулируйте признак принадлежности точки поверхности.

5. Перечислите поверхности вращения второго порядка.

6. Назовите поверхности с плоскостью параллелизма.

7. Какие поверхности могут занимать проецирующее положение?

Ответы на тест - № 4

1-5 2-3 3-6 4-2 5-6 6-1 7-5 8-6

Справочный материал

Задание плоскости на комплексном чертеже

Задание поверхности на комплексном чертеже

(геометрическая часть определителя некоторых поверхностей)