Если орты образуют правую тройку, то система координат называется правой, если левую, то – левой.

Мы будем работать только с правой системой координат (рис. 4.1).

Определим понятие координат вектора. Рассмотрим произвольный вектор . Приведем его к началу координат, точке (рис. 4.1). Спроектируем этот вектор на координатные оси. Составляющими вектора по координатным осям являются векторы: , а проекциями на координатные оси – числа . Эти проекции носят названия координатами вектора.

Определение 4.1.Координатамивектора называются его проекции на координатные оси. При этом пишут:

(4.1)

где Очевидно, координаты нулевого вектора равны 0:

(4.2)

4.2. Разложение вектора по ортам.
Модуль вектора

1⁰. Разложение вектора по ортам. Из прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.1) следует:

.

Но , , , , Следовательно,

(4.3)

Равенство (4.3) и есть формула разложения вектора по ортам координатных осей.

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Линейные операции над векторами.

Сформулируем правила действий над векторами в координатной форме.

. Координаты суммы (разности) векторов равны суммам (разностям) соответствующих координат этих векторов.

Пусть тогда

(4.5)

При умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр.

Если и – скалярная величина, то

(4.6)

Покажем применение рассмотренного в этой главе материала к решению практической задачи.

Задача 4.1.Даны векторы:

Найти: координаты и модуль вектора

Решение. Используем координатную запись векторов и правила линейных операций над ними:

Модуль вектора вычислим по формуле (4.4):

Ответ.

Направляющие косинусы вектора

Определение 4.2.Направляющими косинусами ненулевого вектора называются косинусы углов, которые этот вектор образуют с осями координат (рис. 4.2).

Выразим координаты вектора через его модуль и углы :

С помощью данных равенств найдем выражения направляющих косинусов через координаты вектора и его модуль:

(4.7)

Вычислим сумму квадратов направляющих косинусов вектора :

Полученный результат в векторной алгебре сформулирован в виде следующего утверждения:

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице:

(4.8)

Задача 4.2. Определить направляющие косинусы вектора а также убедиться в справедливости тождества (4.8).

Решение. 1⁰. Определим координаты и модуль вектора :

2⁰. Вычислим направляющие косинусы вектора

3⁰. Проверим справедливость тождества (4.8):

Ответ.

4.5. Координаты точки в пространстве.
Вычисление координат вектора и его модуля
по координатам его начала и конца.

Введем понятие координат точки в пространстве через понятие радиус-вектора.

Определение 4.3.Радиус-вектором точки М называется вектор с началом в начале координат и концом в точке М, то есть вектор (рис. 4.3).

В качестве координат точки М примем координаты радиус-вектора.

Определение 4.4.Координатами точки в пространстве называются координаты ее радиус-вектора.

Координаты точки М (рис. 4.3) обозначаются символом: , или . Таким образом,

Поставим задачу: найти координаты и модуль вектора , если известны координаты его начала и конца: (рис. 4.4).

Решение. Проведем в точки А и В радиус-векторы и , выразим координаты вектора через координаты векторов и (см. определение 4.4), получим:

(4.9)

Координаты вектора равны соответствующим разностям координат конца и начала этого вектора.

Задача 4.3. Даны две точки: Найти координаты, разложение по ортам координатных осей, модуль и направляющие косинусы вектора

Решение. Для определения координат вектора воспользуемся формулой (4.9):

По формуле (4.4) вычислим модуль вектора :

Найдем направляющие косинусы вектора :

Вычислим сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ.