Свойства скалярного произведения Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей одного из них на проекцию другого вектора на этот вектор:
(5.2)
Это свойство используется для вычисления величины проекции одного вектора на другой в случае, когда векторы заданы своими координатами (об этом разговор позже).
Коммутативный (переместительный) закон:
(5.3)
Ассоциативный (сочетательный) закон относительно числового множителя:
. (5.4)
Дистрибутивный (распределительный) закон:
(5.5)
Прежде чем формулировать следующее свойство, определим важное понятие.
Определение 5.2.Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя. Скалярный квадрат вектора обозначается символом
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
(5.6)
Из равенства (5.6) следует:
(5.6*)
Замечание. Из свойств скалярного умножения векторов следует, что преобразования векторных одночленов и многочленов относительно сложения, вычитания и умножения (в том числе и скалярного) можно производить по правилам преобразований алгебраических многочленов.
Покажем это на примере решения задачи.
Задача 5.1. Дано:
Найти: и .
Решение. По формуле (5.6*) получаем:
;
По формуле (5.5) имеем:
=
Ответ.
Для того, чтобы векторы и , были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Скалярное произведение ненулевых векторов и положительно при и отрицательно при
5.3. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Свойства и позволяют получить скалярные векторов – ортов координатных осей:
Например, (по свойству 50); (по свойству 60), так как Аналогично обосновываются остальные соотношения. Результаты сведем в таблицу 5.1. В ней элементы главной диагонали – скалярные квадраты ортов, остальные элементы – парные произведения ортов. Таблица (табл. 5.1) скалярного умножения ортов представляет единичную матрицу третьего порядка.
Таблица 5.1
Получим формулу скалярного произведения двух векторов в координатной форме.
Имеем два вектора:
,
Перемножим их скалярно:
Учитывая данные таблицы, получаем:
(5.7)
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Из свойства скалярного произведения векторов и формулы (5.7) получаем условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме:
(5.8)
Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.
Рассмотрим две задачи, в которых используется формула (5.7).
Задача 5.2. Найти проекцию вектора на вектор если
Решение.По свойству 10:
Ответ.
Задача 5.3. Даны векторы:
Найти скалярное произведение векторных двучленов:
Решение.Решение задачи можно выполнить двумя способами:
· перемножить двучлены, а затем представить векторы в координатной форме и выполнить действия;
· сразу же представить векторы в координатной форме, и далее все действия осуществлять в этой форме.
10.Первый способ.
20.Второй способ.
Второй способ является, с нашей точки зрения, более рациональным.
Ответ.
Задача 5.4. Вычислить работу, которую производит сила , если точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора , причем
Решение. Работа силы на перемещении равна скалярному произведению векторов и Найдем координаты вектора
Ответ.
Угол между двумя векторами
Для получения формулы угла между двумя векторами воспользуемся выражением скалярного произведения двух векторов:
отсюда получаем:
(5.9)
Подставляя в правую часть равенства (5.9) выражения и в координатной форме, получаем формулу угла между двумя векторами в координатной форме:
(5.10)
отсюда
(5.11)
Формула (5.11) и есть искомая формула угла между двумя векторами.
Рассмотрим пример применения полученной формулы.
Задача 5.5. Найти угол треугольника , (рис. 5.2), вершины которого имеют координаты:
Решение. Будем считать стороны и векторами и . Угол между этими векторами и есть угол треугольника Найдем этот угол. Отметим, что векторы всегда должны иметь началом вершину того угла, величину которого мы определяем. В противном случае есть опасность определить не искомый угол, а смежный с ним угол.
Определим координаты векторов и :
По формулам (5.9) – (5.11) получаем:
Ответ.
|