Векторное произведение векторов.

Если в параллелограмме АВСD векторы = а, = b, то будем говорить, что этот параллелограмм построен на векторах а, b.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов а и b называется вектор с, удовлетворяющим следующим условиям:

1 .Длина вектора сравна площади параллелограмма, построенного на векторах аиb.

2 .Вектор сперпендикулярен и векторуа,и вектору b.

3.Базис{ а, b, с }– правый.

Векторным произведением двух коллинеарных векторов называется нулевой вектор.

Векторное произведение векторов аи bобозначается так: [а b ].

Смешанное произведение векторов а b с равно скалярному произведению векторного произведение векторов а и bи вектора с

а b с = [а b ] с.

Если в правом базисе {i, j, k} даны координаты векторов

а(а₁,а₂,а₃), b(b₁, b₂, b₃), то векторное произведение этих векторов [а b] = с имеет следующие координаты: с(с₁,с₂,с₃)

с₁ = , с₂ = , с₃ = .

Для нахождения координат векторного произведения будем применять условную запись

│ i j k │

[а b ] = │ а₁ а₂ а₃ │

│ b₁ b₂ b₃ │

Свойства векторного произведения

Для любых векторова, b, си любого числа α

1º) [а b ] = - [b а ],

2º) [ (αа) b] = [а (αb) ] =α[а b] ,

3º) [ (а + с) b] = [а b] +[с b] .

Из определения смешанного и векторного произведения следуют такие формулы:

Площадь параллелограмма АВСД равна длине векторного произведения векторов и S_АВСД = |[ ] |

Площадь треугольника АВС равна половине длины векторного произведения векторов и S_АВС = |[ ]| .

Расстояние от точки А до прямой (ВС) вычисляется по формуле

ρ(А, (ВС)) =

Расстояние между скрещивающимися прямыми (АВ) и (СD)

вычисляется по формуле

ρ((АВ), (СD))=

ПРИМЕР 6.8

Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ с единичной стороной. Базис { , , } – правый. Построить вектор, равный векторному произведению векторов [ ].

РЕШЕНИЕ

Рис.6.4

Обозначим [ ] = р. Тогда по определению векторного произведения имеем

1. Длина вектора р равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , но этот параллелограмм является квадратом с единичной стороной, поэтому

│р│= 1.

2. так как вектор рперпендикулярен и вектору ,и вектору ,то вектор р коллинеарен вектору .

3. Базис { , р}правый. Но по условию базис { , , } – правый, этот базис соответствует левой руке (смотри рис.), следовательно, базис { , , р}также соответствует левой руке (Рис.6.4).

Из 2. и 3. следует, что вектор р = = - . ▄

6.52. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁, │ │=2, │ │=1, │ │= . Базис { , , } – левый. Построить вектор, равный векторному произведению векторов: а) и; б) и ;в)и .

ПРИМЕР 6.9

Найти [(3а +2b) (5а –3b)],если[а b] = с.

РЕШЕНИЕ

Используя свойства векторного произведения и тот факт, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору, упростим данное векторное произведение.

[(3а +2b) (5а –3b)] = [3а(5а +3b)] + [2b(5а -3b)] = [3а5а] + [3а3b] +

[2b5а ] + [2b(-3b)] = 0 +9[а b] +10[b а ] - 0 =9[а b] -10[а b]=

-[а b] = -с

ОТВЕТ [(3а +2b) (5а –3b)] =- с.

6.53. Упростить выражения: а) [(а – b) (а + b)],б)[(а +2b - с) (а -2b)],

в)[а(2b + с –3а)],г) [(а – р) (а - р)].

ПРИМЕР 6.10

В ортонормированном правом базисе даны векторы а(5,1,0),

b(2,2,-1), с(1,-3,1), d(0,0,1). Найти координаты вектора [[а b ] [с d ]].

РЕШЕНИЕ

1. Сначала найдем координаты векторных произведений [а b ]и[с d ].

| i j k|

[а b ] = |5 1 0 | = - i +5j +8k [а b ] (-1, 5, 8).

|2 2 -1|

| i j k |

[с d ] = |1 -3 1 | = -3i -1j +0k [с d ] (-3, -1, 0).

|0 0 1|

2. Теперь найдем координаты векторного произведения [ [а b ] [с d ]].

| i j k |

[[а b ] [с d ]] = | -1 5 8 | =5i -24j +16k [[а b ] [с d ]] (5,-24,16).

| -3 -1 0|

ОТВЕТ. [[а b ] [с d ]] (5, -24, 16).

6.54. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(3,1,2),

b(2,7,4), с(1,2,1). Найти координаты векторов [а b ], [ b с ], [а с ]иих длины.

6.55. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(0,1,0),

b(2,-1,3), с(0,5,-2), d(1,2,-3). Найти координаты векторов:

а) [а (b + с)];б)[b (d - с)];в)[(с -2d) (с + b)];г)[(а+ b)(с + d)].

6.56. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(3,0,-1), b(2,4,3), с(-1,3,2), d(2,0,1). Найти: а) координаты вектора [ [а b ] с]; б) скалярное произведение [а с ] [ b d ].

6.57. Дан ортонормированный базис {i, j, k}. Доказать, что для любых векторов а и b [а b ] =(а b i)i +(а b j)j +(а b k)k.

6.58. Доказать, что для любых векторов а, bисвыполняются равенства:

а) [(а – b)(а + b)] =2[а b];б)[(b – а)(с – b)] = [а b] + [ bс] + [с а] .

6.59. Доказать, что если [а b] + [b с] + [с а] = 0,то векторы а, b, с компланарны.

6.60. Векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = сне компланарны. Доказать, что вектор [а b] + [b с] + [с а]перпендикулярен плоскости АВС.

6.61. Доказать, что: а) если а + b + с= 0, то [а b] = [b с] = [с а];

б) если векторы а и bне коллинеарны и [а b] = [b с] = [с а],то

а + b + с= 0.

6.62. Доказать тождества: а) [а b]² +(а b)² = а² b²,

б) [ [а b] с] = b(ас)– а(bс).

ПРИМЕР 6.11

Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС. Найти длину ее высоты АН если А(1,0,1), В(5,0,0), С(0,1,2), А₁(3,-1,1).

РЕШЕНИЕ

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту, т.е

V_{АВСА1В1С1} = S_АВС АН. (*)

Найдем координаты , , . (4,0,-1),(-1,1,1), (2,-1,0).

Найдем объем призмы. V_{АВСА1В1С1} = | |.

= =5 , из этого следует, что V_{АВСА1В1С1} = .

Найдем площадь основания. S_АВС = | [ ] |.

| i j k |

[ ] = |4 0 -1| = i -5j +4k [ ] (1, -5, 4),значит

|-1 1 1|

| [ ] | = = S_АВС = .

Из формулы (*) следует, что АН = .

ОТВЕТ. АН = .

ЗАМЕЧАНИЕ.В задачах 6. 63 – 6.68 система координат прямоугольная декартовая.

6.63. Найти площадь треугольника АВС, если: а) А(3,4,-1), В(2,0,3),

С(-3,5,4); б) А(-1,1,2), В(1,1,0), С(2,6,-2).

6.64. Найти длину высоты АН тетраэдра АВСD, если А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(5,5,-1),

D (1,-2,2).

6. 65. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁, построенный на векторах

(4,3,0), (2,1,2), (-3,-2,5). Найти: а) объем параллелепипеда; б) площади граней; в) длину высоты, проведенную из вершины А₁ на грань АВСD;

г) косинус угла между ребром АВ и диагональюВ₁D; д) косинус угла между гранями АВСD и АDD₁А₁.

6.66. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС, построенная на векторах (0,1,-1), (2,-1,4), (-3,2,2). Найти: а) объем призмы; б) площади граней; в) высоту призмы; г) угол между ребрами В₁С₁ и АА₁.

6.67. Дан тетраэдр АВСD, построенный на векторах (2,0,0), (3,4,0), (3,4,2). Найти: а) объем тетраэдра; б) площади граней; в) длину высоты DН;

г) косинус угла между ребрами АВ и ВС; д) косинус угла между гранями АВС и АDС.

6.68. Доказать, что четырехугольник АВСD, где А(2,-3,1), В(-1,1,1), С(-4,5,6),

D (2,-3,6), является плоским и найти его площадь.