Агрегатная форма общего индекса

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы.

Достижение в сложных статистических совокупностях сопоставимости разнородных единиц осуществляется введением в индексные отношения специальных сомножителей индексируемых величин. Такие сомножители называются соизмерителями. Они необходимы для перехода от натуральных измерителей разнородных единиц статистической совокупности к однородным показателям. При этом в числителе и знаменателе общего индекса изменяется лишь значение индексируемой величины, а их соизмерители являются постоянными величинами.

В качестве соизмерителей индексируемых величин выступают тесно связанные с ними экономические показатели: цены, количество и др.

Произведение каждой индексируемой величины на соизмеритель образует в индексном отношении определённые экономические категории.

При определении общего индекса цен в агрегатной форме в качестве соизмерителя индексируемых величин и могут приниматься данные о количестве реализации товаров в текущем периоде . При умножении на индексируемые величины в числителе индексного отношения образуется значение , сумма стоимости продажи товаров в текущем периоде по ценам того же текущего периода. В знаменателе индексного отношения образуется значение , т.е. сумма стоимости продажи товаров в текущем периоде по ценам базисного периода.

Агрегатная формула такого общего индекса цен имеет следующий вид:

(1)

Расчёт агрегатного индекса цен по данной формуле предложил немецкий экономист Г. Пааше, поэтому он называется индексом Пааше.

При другом способе определения агрегатного индекса цен в качестве соизмерителя индексируемых величин и могут применяться данные о количестве реализации товаров в базисном периоде . При этом умножение на индексируемые величины в числителе индексного отношения образует значение , т.е. сумму стоимости продажи товаров в базисном периоде по ценам текущего периода.

В знаменателе индексного отношения образуется значение , т.е. сумма стоимости продажи товаров в базисном периоде по ценам того же базисного периода.

Агрегатная формула такого общего индекса имеет вид:

(2)

Расчёт общего индекса цен по данной формуле предложил немецкий экономист Э. Ласпейрес, и получил название индекса Ласпейреса.

Индексы Пааше и Ласпейреса характеризуют различные качественные особенности изменения цен.

Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчётном периоде. Индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реализованных в базисном периоде.

Другим важным видом общих индексов, которые широко применяются в статистике, являются агрегатные индексы физического объёма товарной массы.

При определении агрегатного индекса физического объёма товарной массы в качестве соизмерителей индексируемых величин и могут применяться неизменные цены базисного периода . При умножении на индексируемые величины в числителе индексного отношения образуются значение , т.е. сумма стоимости товарной массы текущего периода в базисных ценах. В знаменателе — , т.е. сумма стоимости товарной массы базисного периода в ценах того же базисного периода.

Агрегатная форма общего индекса имеет следующий вид:

= (3)

Поскольку, в числителе формулы 3 содержится сумма стоимости реализации товаров в текущем периоде по неизменным (базисным) ценам, а в знаменателе — сумма фактической стоимости товаров, реализованных в базисном периоде в тех же неизменных (базисных) ценах, то данный индекс является агрегатным индексом товарооборота в сопоставимых (базисных) ценах.

Агрегатный индекс физического объёма товарооборота может определяться посредством использования в качестве соизмерителя индексируемых величин и цен текущего периода .

Агрегатная формула общего индекса будет иметь вид:

= (4)

Аналогичным образом производится расчёт индекса себестоимости, при этом сравниваются суммы затрат в производстве в отчётном периоде ( — числитель индекса) с суммой затрат в производстве на продукцию отчётного периода по себестоимости базисного периода ( — знаменатель).

В теории индексов обычно придерживаются следующего правила:

· индексы качественных показателей строятся с весами отчетного периода (при этом в роли соизмерителей используется какой-либо количественный показатель);

· индексы количественных показателей строятся с весами базисного периода (в этом случае соизмерителем служит какой-либо качественный показатель).

Такое построение агрегатных индексов позволяет получить систему взаимосвязанных индексов и провести анализ влияния отдельных факторов на изменение обобщающих результативных показателей.

Построим индексную модель, отражающую взаимосвязь динамики трех показателей – стоимости продукции, цен и количества реализованной продукции:

.

Такая модель называется мультипликативной.

Мы получили систему взаимосвязанных агрегатных индексов, каждый из которых позволяет определить изменение индексируемого показателя в относительном выражении (%).

Одна из задач индексного метода – анализ влияния отдельных факторов на изучаемое явление. Индексы рассматривают как показатели относительно изменения результативного показателя за счет отдельных факторов.

Общее изменение стоимости продукции в абсолютном выражении исчисляется как разность между числителем и знаменателем общего индекса стоимости реализованной продукции:

.

Исходя из того, что на изменение стоимости продукции оказывают влияние два фактора (количество реализованной продукции и цены), приведем формулы расчета влияния каждого из этих факторов:

· изменение стоимости реализованной продукции в абсолютном выражении за счет изменения цен исчисляется как разница между числителем и знаменателем индекса цен:

;

· изменение стоимости продукции в абсолютном выражении за счет изменения количества реализованной продукции исчисляется как разность между числителем и знаменателем индекса физического объема продукции:

.

Взаимосвязь исчисленных показателей:

.

Задача 1

Имеются следующие данные о продаже продукции:

На основе приведенных данных определить:

1) индивидуальные индексы цен и физического объема;

2) общие индексы цен, физического объема и товарооборота.

3) прирост товарооборота в целом и за счет изменения цен и физического объема.

РЕШЕНИЕ

1) индивидуальные индексы цен (характеризуют изменение цен по отдельным видам продукции)

, где р1 – цена отчетного периода,

р0 –цена базисного периода

А , или 93,5%;

В , или 113,0%;

С , или 98,4%.

Следовательно, цена на продукцию «В» выросла на 13,0%; по продукции «А» и «С» снизилась на 6,5 и 1,6% соответственно.

Индивидуальные индексы физического объема (характеризуют изменение количества проданных отдельных видов продукции)

, где q1 – количество продукции отчетного периода,

q0 – количество продукции базисного периода

А , или 150,0%;

В , или 167,6%;

С , или 140,0%.

Таким образом, количество проданной продукции «А» выросло в 1,5 раза, продукции «В» – на 67,6%, продукции «С» – на 40,0%.

2) Общий индекс цен (характеризует среднее изменение цен)

, или 105,0%.

Цены на всю продукцию выросли в среднем на 5,0%.

Общий индекс физического объема

, или 155,7%.

Количество проданной продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным выросло на 55,7%.

Общий индекс товарооборота

, или 163,5%.

Товарооборот вырос на 63,5%.

Взаимосвязь между исчисленными индексами:

1,635 = 1,050 * 1,557

3) Прирост товарооборота в целом:

5268 – 3223 = + 2045 тыс. руб.

а) за счет изменения цен:

5268 – 5019 = + 249 тыс. руб.

б) за изменения физического объема

5019 – 3223 = + 1796 тыс. руб.

Взаимосвязь:

+ 2045 = + 249 + 1796

Вывод: В отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот вырос на 2045 тыс. руб., или на 63,5%; в том числе за счет роста цен товарооборот вырос на 249 тыс. руб., или на 5,0%; за счет увеличения объемов продаж товарооборот вырос на 1796 тыс. руб., или на 55,7%.

Средневзвешенные индексы

Помимо агрегатных индексов в статистике применяются средневзвешенные индексы.К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.

Средний индекс - это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Он должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.

При построении средних индексов следует руководствоваться следующим правилом: для индекса количественного показателя обычно используют формулу среднего арифметического индекса, а для индекса качественного показателя – формулу среднего гармонического индекса.

Среднеарифметический индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:

.

Среднеарифметические индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных показателей.

Средний гармонический индекс цен представляет собой среднюю гармоническую величину из индивидуальных индексов цен:

.

Имеются данные о продаже товаров в районе

Определите:

1) Общий индекс физического объёма товарооборота;

2) Абсолютный прирост стоимости проданных товаров за счёт изменения количества продажи товаров.

Решение:

1) Определим общий индекс физического объёма товарооборота

Ткани:

i_q = = 1, 1 или 110%

= i_q

I_q = или 110 %

2) Определим абсолютный прирост стоимости проданных товаров за счёт изменения количества продажи товаров (разница между числителем и знаменателем индекса физического объёма товарооборота)

I_q = 770 – 2500 = 270 млн. руб.

Товарооборот в отчётном периоде по сравнению с базисным возрос на 270 млн. руб.

Индексы в форме средних из индивидуальных используют не только для характеристики изменения цен и физического объема, но и других (в основном, качественных) показателей: себестоимости, производительности труда, рентабельности и т.д. При этом должно выполняться основное требование – их тождественность агрегатному индексу и реальность весов как экономических категорий.

Динамику среднего уровня качественного показателя для однородной совокупности изучают с помощью системы индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Относительная величина, характеризующая динамику среднего уровня качественного показателя в однородной совокупности, называется индексом переменного состава. Он отражает влияние на изучаемый показатель двух факторов: изменения индексируемой величины у отдельных единиц совокупности и изменения структуры совокупности по изучаемому признаку. Индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть построен следующим образом:

,

где х – индексируемая величина;

f – вес индекса.

Индекс постоянного (фиксированного) состава характеризует динамику среднего уровня качественного показателя при одинаковой фиксированной структуре совокупности. Другими словами, он показывает, как в среднем изменилось значение качественного показателя у единиц совокупности. В общем виде данный индекс можно записать следующим образом:

.

Индекс влияния структурных сдвигов представляет собой отношение средних величин рассматриваемого качественного показателя, рассчитанных при структуре совокупности отчетного и базисного периодов при постоянном значении качественного показателя. Формула индекса влияния структурных сдвигов:

.

Влияние структурных сдвигов на изменение среднего уровня изучаемого явления особенно заметно при сравнениях за длительные периоды времени и в условиях существенных изменений в структуре социально-экономических процессов. В связи с этим исключение воздействия структурного фактора при анализе изменений средних значений признаков как показателей основной тенденции – это необходимое условие для получения реалистичной оценки и правильных выводов на основе индексного анализа различных сложных явлений.

Взаимосвязь индексов переменного, постоянного состава и влияния структурных сдвигов выражается уравнением:

На основе этих формул можно рассчитать абсолютное изменение среднего уровня вторичного признака за счет отдельных факторов – самого усредняемого признака и структуры.

Имеются следующие данные о реализации яблок на рынках города:

На основе приведенных данных определить для трех рынков вместе:

1) индексы средней цены яблок переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов;

2) абсолютное изменение средней цены яблок по рынкам города в целом и за счет действия отдельных факторов.

РЕШЕНИЕ

1) Индекс переменного состава средней цены равен отношению средней цены отчетного периода к средней цене базисного периода

Индекс постоянного состава

Индекс структурных сдвигов

Взаимосвязь индексов:

1,153 = 1,154 * 0,999

2) Абсолютное изменение:

Средней цены:

28,46 – 24,69 = + 3,77 руб.

а) за счет изменения цен на отдельных рынках

28,46 – 24,67 = + 3,79 руб.

б) за счет изменения в структуре продаж

24,67 – 24,69 = – 0,02 руб.

Взаимосвязь:

+ 3,77 = + 3,79 – 0,02

Вывод: Средняя цена яблок выросла в декабре по сравнению с сентябрем на 3,77 руб., или на 15,3%, в том числе за счет роста цен на отдельных рынках – на 3,79 руб. За счет изменения структуры продаж средняя цена снизилась на 2 коп.

Цепные и базисные индексы

В зависимости от выбора базы сравнения возможно построение системы цепных и базисных индексов.

Индексы с переменной базой сравнения (цепные) получают путем сопоставления индексируемого показателя каждого последующего периода с показателем предшествующего ему периода.

Индексы с постоянной базой сравнения (базисные) рассчитывают путем сравнения индексируемого показателя каждого периода с соответствующим показателем одного периода, принятого за базу сравнения.

Индивидуальные цепные и базисные индексы, выраженные в относительных величинах, тождественны коэффициентам роста, используемым в системе показателей динамики.

Для индивидуальных индексов справедливо следующее правило:

· произведение промежуточных по периодам цепных индексов дает базисный индекс последнего периода;

· отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода.

Это правило позволяет применять цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным, и наоборот.

Для агрегатных индексов это правило действует только в отношении индексов, рассчитанных на основании постоянных весов.

Пример. Известны следующие данные о реализации товаров в магазине.

Рассчитаем общие цепные индексы цен с переменными весами, характеризующие:

1) изменение цен в феврале по сравнению с январем:

;

2) изменение цен в марте по сравнению с февралем:

.

Вычислим общие цепные индексы физического объема проданных товаров с постоянными весами. За неизменные (сопоставимые) цены возьмем цены продажи товаров в январе.

1) изменение объема продаж в феврале по сравнению с январем:

.

2) изменение объема продаж в марте по сравнению с февралем:

.