Социальная деятельность и социальные показатели 7 глава

Направление и плотность (теснота),линейной связи между двумя переменными измеряются с помощью коэффициента корреляции.

Меры взаимозависимости для интервального уровня измерения.Наиболее широко известной мерой связи служит коэффициент кор­реляций Пирсона (или, как его иногда называют, коэффициент кор­реляции, равный произведению моментов). Одно из важнейших предположений, на котором покоится использование коэффициента r, состоит в том, что регрессионные уравнения для изучаемых пере­менных имеют линейную форму[91], т. е.

(18)

либо

(19)

где — среднее арифметическое для переменной у; — среднее арифметическое для переменной х; и — некоторые коэффи­циенты.

Поскольку вычисление коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии и проводится по схожим формулам, то, вычисляя r, получаем сразу же и приближенные

Рис. 9 Диаграмма рассеяния для распределения заработной платы и общего стажа работы

Рис. 10. Линии регрессии для рас­пределения заработной платы и об­щего стажа работы

х — стаж работы, лет; у — заработная плата, руб.

Рис. 11. Линия регрессии криволи­нейной формы и диаграмма рассея­ния

регрессионные модели[92].

Выборочные коэффициенты регрессии и корреляции вычисляют­ся по формулам

; (20)

; (21)

. (22)

Здесь — дисперсия признака х; — дисперсия признака у. Величина называется ковариацией x и y.

Расчет r для несгруппированных данных. Для вычислительных целей эти выражения в случае несгруппированных данных можно переписать в следующем виде:

Рассчитаем коэффициент корреляций и коэффициенты регрессии для данных табл. 7:

тогда уравнение регрессии имеет вид

Линии регрессии = F(х) изображены на рис. 10. Отсюда вид­но, что между заработной платой и общим стажем работы сущест­вует прямая зависимость: по мере увеличения общего стажа работы на предприятии растет и заработная плата. Величина коэффи­циента корреляции довольно большая и свидетельствует о положи­тельной связи между переменными величинами. Следует отметить, что вопрос о том, какую переменную в данном случае принимать в качестве зависимой величины, а какую — в качестве независимой, исследователь решает на основе качественного анализа и профес­сионального опыта. Коэффициент корреляции по определению яв­ляется симметричным показателем связи: = . Область возмож­ного изменения коэффициента корреляции r лежит в пределах от +1 до —1.

Вычисление r для сгруппированных данных. Для сгруппирован­ных данных примем ширину интервала по каждой переменной за единицу (если по какой-либо переменной имеются неодинаковые размеры интервала, то возьмем из них наименьший). Выберем так­же начало координат для каждой переменной где-нибудь возле среднего значения, оцененного на глаз.

Для условных данных, помещенных в табл. 8, за нулевую точ­ку отсчета выберем значение у, равное 64, а по х — значение 134,5.

Тогда коэффициент корреляции определяется по следующей фор­муле:

где — отклонение от условной средней по признаку х; — отклонение от условной средней по признаку у; — частота наблюдений по клеткам таблицы;

Таблица 8.Вычисление r по сгруппированным данным

	x	y	Промежуточные результаты
-1		+1	+2
+2 +1 -1 -2	146,5 140,5 134,5 128,5 122,5						-41 -32
	-26

Для вышеприведенного примера порядок вычислений представлен в табл. 9. Для определения вычислим последовательно все произведения частоты в каждой клетке таблицы на ее коор­динаты. Так

Подсчитаем и : = -17/185 = -0,09; = 97/185 = 0,52. Определяем и :

В соответствии с формулой вычисляем

Таким образом, величина связи достаточно велика, как, впрочем, и следовало ожидать на основе визуального анализа таблицы.

Статистическая значимость r. После вычисления коэффициента корреляции возникает вопрос, насколько показателен этот коэффи­циент и не обусловлена ли зависимость, которую он фиксирует, случайными отклонениями. Иначе говоря, необходимо проверить гипотезу о том, что полученное значение r значимо отличается от 0.

Если гипотеза будет отвергнута, говорят, что величи­на коэффициента корреляции статистически значима (т. е. эта ве­личина не обусловлена случайностью) при уровне значимости a.

Для случая, когда n<50, применяется критерий вычисляе­мый по формуле

(23)

Распределение t дано в табл. В приложения.

Если n>50, то необходимо использовать Z-критерий

В табл. А приложения приведены значения величины для соот­ветствующих a.

Вычислим величину Z для коэффициента корреляции по табл. 7 (вычисление проделаем лишь для иллюстрации, так как число наблюдений n = 25 и нужно применять критерий t). Величина r (см. табл. 7) равна 0,86. Тогда

Для уровня значимости a = 0,01 = 2,33 (см. табл. А прило­жения).

Поскольку Z> , мы должны констатировать, что коэффици­ент корреляции r = 0,86 значим и лишь в 1% случаев может ока­заться равным нулю. Аналогичный результат дает и проверка по критерию t для a = 0,01 (односторонняя область); = 2,509, t вы­борочное равно 8,08.

Другой часто встречающейся задачей является проверка равен­ства на значимом уровне двух коэффициентов корреляции при заданном уровне a, т. е. различия между r₁ и r₂ обуслов­лены лишь колебаниями выборочной совокупности.

Критерий для проверки значимости следующий:

, (25)

где значения и находят по табл. Д приложения для и .

Значения определяют по табл. А приложения аналогично выше­приведенному примеру.

Частная и множественная регрессия и корреляция. Ранее нами было показано, как можно по опытным данным найти зависимость одной переменной от другой, а именно как построить уравнение регрессии вида у = а + bх. Если исследователь, изучает влияние не­скольких переменных на результатирующий признак у, то возникает необходимость в умении строить регрессионное урав­нение более общего вида, т. е.

, (26)

где а, , , ……., — постоянные коэффициенты, коэффициенты регрессии.

В связи с уравнением (26) необходимо рассмотреть следующие вопросы: а) как по эмпирическим данным вычислить коэффициенты регрессии а, , , ……., ; б) какую интерпретацию можно припи­сать этим коэффициентам; в) оценить тесноту связи между у и каждым из в отдельности (при элиминировании действия осталь­ных); г) оценить тесноту связи между у и всеми переменными в совокупности.

Рассмотрим этот вопрос на примере построения двухфакторного регрессионного уравнения. Предположим, что изучается зависимость недельного бюджета свободного времени (у) от уровня образования ( ) и возраста ( ) определенной группы трудящихся по данным выборочного обследования. Будем искать эту зависимость в виде линейного уравнения следующего вида:

При расчете коэффициентов уравнения множественной регрессии полезно преобразовать исходные эмпирические данные следующим образом. Пусть в результате обследования n человек получены эм­пирические значения, сведенные в следующую таблицу (в каждом столбце представлены несгруипированные данные):

Номер респондента . . . n Среднее по столбцу Среднее квадратическое отклонение

y y1 y2 . . . yn sy

x1 x11 x12 . . . x1n s1

x2 x21 x22 . . . x2n s2

Каждое значение переменной в таблице преобразуем по формулам

Это преобразование называется нормированием переменных. В ре­зультате искомое регрессионное уравнение примет вид

Коэффициенты и находятся по следующим формулам:

(27)

(28)

и называются стандартизированными коэффициентами регрессии. Следовательно, зная коэффициенты корреляции между изучаемыми признаками, можно подсчитать коэффициенты регрессии. Подставим конкретные значения из следующей таблицы[93]:

Тогда

.

Аналогично , и уравнение регрессии запишется в виде .

Коэффициенты исходного регрессионного уравнения и на­ходятся по формулам

(29)

(30)

Подставляя сюда данные из вышеприведенной таблицы, получим

Как же следует интерпретировать это уравнение? Например, значение показывает, что в среднем недельный бюджет свобод­ного времени при увеличении возраста на один год и при фиксиро­ванном признаке , уменьшается на 0,17 час. Аналогично интер­претируется . (Исходные эмпирические данные можно изобразить на диаграмме рассеяния аналогично тому, как это сделано на рис. 10, но уже в трехмерном пространстве ( , , ))

Коэффициенты , можно в то же время рассматривать и как показатели тесноты связи между переменными у и, например, при постоянстве .

Аналогичную интерпретацию можно применять и к стандарти­зированным коэффициентам регрессии . Однако поскольку вы­числяются исходя из нормированных переменных, они являются безразмерными и позволяют сравнивать тесноту связи между пере­менными, измеряемыми в различных единицах. Например, в выше­приведенном примере измеряется в классах, а — в годах и позволяют сравнить, насколько теснее связан с у, чем [94].

Поскольку коэффициенты и измеряют частную односторон­нюю связь, возникает необходимость иметь показатель, характери­зующий связь в обоих направлениях. Таким показателем является частный коэффициент корреляции

Для рассматриваемого примера . Для любых трех переменных , , частный коэффициент корреляции между двумя из них при элиминировании третьей стро­ится следующим образом,

(31)

Аналогично можно определить и частные коэффициенты корре­ляции для большего числа переменных ( ). Однако ввиду громоздкости вычисления они применяются достаточно редко.

Для характеристики степени связи результатирующего признака у с совокупностью независимых переменных служит множествен­ный коэффициент корреляции , который вычисляется по формуле (иногда он выражается в процентах)

(32)

Так, для вышеприведенного примера он равен

Множественный коэффициент корреляции показывает, что включе­ние признаков и в уравнение

на 32% объясняет изменчивость результатирующего фактора. Чем больше , тем полнее независимые переменные описы­вают признак у. Обычно R служит критерием включения или ис­ключения новой переменной в регрессионное уравнение. Если R мало изменяется при включении новой переменной в уравнение, то такая переменная отбрасывается.

Корреляционное отношение. Наиболее общим показателем связи при любой форме зависимости между переменными является корре­ляционное отношение . Корреляционное отношение опреде­ляется через отношение межгрупповой дисперсии к общей диспер­сии по признаку y:

(33)

где — среднее значение i-го у-сечения (среднее признака у для объектов, у которых = т. е. столбец «i»); — среднее значе­ние i-го x-сечения (т. е. строка «i»); —число наблюдений в у-сечении; — число наблюдений в x-сечении; — среднее зна­чение у.

Величина показывает, какая доля изменчивости значений у обусловлена изменением значения х. В отличие от коэффициента корреляции не является симметричным показателем связи, т. е. . Аналогично определяется корреляционное отношение х по у[95].

Пример. По данным таблицы сопряженности (табл. 9) най­дем .

Вычислим общую среднюю

Тогда

Сравнение статистических показателей r и . Приведем сравнительную характеристику коэффициента корреляции (будем срав­нивать r²) и корреляционного отношения :

а) r² = 0, если х и у независимы (обратное утверждение не­верно);

б) r² = = 1 тогда и только тогда, когда имеется строгая ли­нейная функциональная зависимость у от х;

в) r² = <1 тогда и только тогда, когда регрессия х и у стро­го линейна, но нет функциональной зависимости;

г) r²< <1 указывает на то, что нет функциональной зави­симости и существует нелинейная кривая регрессии.

Таблица 9.Вычисление

Середина интервала	Середина интервала

Коэффициенты взаимозависимости для порядкового уровня из­мерения. К этой группе относятся коэффициенты ранговой корреля­ции Спирмена , Кендалла и . Коэффициенты ранговой корре­ляции используются для измерения взаимозависимости между ка­чественными признаками, значения которых могут быть упорядоче­ны или проранжированы по степени убывания (или нарастания) данного качества у исследуемых социальных объектов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена . Этот коэффи­циент вычисляется по следующей формуле:

где — разность между i-ми парами рангов; l — число со­поставляемых пар рангов. Величина может изменяться в преде­лах от +1 до—1, когда два ряда проранжированы в одном поряд­ке. При полном взаимном беспорядочном расположении рангов равен нулю.

Пример. По данным табл. 10 выясним, в какой степени связаны жизненные планы детей, отличающихся по социальному происхож­дению. Для этого проранжируем значения процентных распределе­нии для каждой из двух групп детей.

В графе «из крестьян» (табл. 10) встречаются два одинаковых числа (51, 0). В подобных случаях обоим числам присваивают ранг, равный среднему арифметическому из этих рангов, т. е. (3 + 4)/2 = 3,5. Подставляя промежуточные величины, вычисленные в табл. 10, в формулу (34), находим[96]

Такую величину можно интерпретировать как высокую сте­пень связи между жизненными планами детей рабочих и крестьян. Однако большая величина не должна скрывать тот факт, что жизненные планы молодежи в табл. 10 распадаются на две груп­пы. Для одной группы (нижняя часть таблицы) ранги полностью совпадают, а для другой (верхняя часть) — нет.

Таблица 10^*

Жизненные планы	Социальное происхождение	Ранг I	Ранг II
из рабочих	из крестьян
Получить высшее образование Получить интересную любимую работу Побывать в других странах Создать себе хорошие жилищные условия Добиться хорошего материального обеспечения Повысить свою квалификацию Получить среднее образование Поехать на одну из новостроек	57,5 57,3   53,8 49,7   48,5   42,0 22,6 19,4	51,0 59,0   52,0 51,0   50,0   45,0 32,0 25,0		3,5   3,5	-2,5   0,5	6,25   0,25