Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

является свободной переменной, т.к. не вышла на диагональ, переносим ее вправо. Система имеет бесконечное множество решений.

Из последнего уравнения выражаем

Из второго уравнения выражаем

Из первого уравнения выражаем

Выпишем общее решение системы:

Ответ: Система имеет множество решений, общее решение системы:

Решение однородных систем

Система линейных уравнений называется однородной, если правые части уравнений равны нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Пример: Исследовать однородную систему на совместность, найти решения:

Решение: Расширенную матрицу системы приведем к ступенчатому виду:

восстановим систему:

Система имеет множество решений. и главные переменные, и свободные переменные. Перенесем свободные переменные в правые части уравнений.

Из второго уравнения находим подставляя это выражение в первое уравнение, получим:

Общее решение системы:

Для нахождения частных решений, свободным переменным даем произвольные значения:

Элементы векторной алгебры

Векторы

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными.

Вектор-это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А- начало вектора, а В- его конец, то вектор обозначается символом , или . Вектор ( у него начало в точке В , а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка AB и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначаются коллинеарные векторы ║

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково, т.е. быть сонаправленными ( ), или быть противоположно направленными ( ).

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными ( ), если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора перемешать в любую точку пространства.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или хотя бы два коллинеарные, то такие векторы будут компланарны.