Пересечение прямой и плоскости

Пусть плоскость задана своим общим уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а прямая в каноническом виде: . Для решения этой задачи проще всего: прямую представить в параметрическом виде: где

Подставляя выражения для x,y и z в уравнение плоскости: , если:

· данное уравнение имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются и для нахождения точки пересечения, необходимо найденное значение параметра t подставить в параметрическое уравнение прямой

· если уравнение решения не имеет, то прямая параллельна плоскости

· если решений множество, т.е. уравнение верно при любом t, то прямая принадлежит плоскости.

Кривые второго порядка

Алгебраическое уравнение второго порядка на плоскости описывает кривую второго порядка, другими словами, любое уравнение вида определяет либо одну из кривых: эллипс, гипербола, парабола; либо распадается на две прямые, ибо точек, удовлетворяющих данному уравнению на плоскости нет.

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса, с центром в начале координат:

Полуосями этого эллипса являются по оси ОХ- отрезок а, и по оси ОУ- отрезок b. Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии: ось ОХ и ось ОУ. Четыре вершины: точки с координатами (-а;0); (а;0); (0;-b); (0;b). Если величина а b, то . На большей оси в точках с координатами и (с, 0) находятся фокусы эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется ,т.е. отношение половины расстояния между фокусами к большей полуоси. Для эллипса

Характеристическое свойство эллипса: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, постоянна и равна удвоенной большей полуоси.

-каноническое уравнение эллипса,

центр симметрии которого находится в точке Q( ,

полуоси эллипса: по ОХ равна a, по оси ОУ равна b.

Фокусы находятся в точках:

Пример: Построить эллипс, каноническое уравнение которого:

,найти его фокусы и эксцентриситет.

Решение: Центром симметрии эллипса является точка Q(2; -3), полуоси эллипса: а=3; b=2; ; фокусы эллипса находятся в точках: .

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы, с центром в начале координат:

Полуосями этой гиперболы являются по оси ОХ- отрезок а, и по оси ОУ- отрезок b. Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии: ось ОХ и ось ОУ. Четыре вершины: точки с координатами (-а;0); (а;0); (0;-b); (0;b). Если величина , то полуось а называется действительной, b-мнимой. . На продолжении действительной оси в точках с координатами и (с, 0) находятся фокусы гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называется ,т.е. отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси. Для гиперболы

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:

Гиперболой, сопряженной к данной, называется гипербола:

Для этой гиперболы а- мнимая полуось, b-действительная. . Фокусы находятся в точках: и (0, с).

Характеристическое свойство гиперболы:

гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами постоянна и равна удвоенной действительной полуоси.

-каноническое уравнение гиперболы,

центр симметрии которого находится в точке Q( ,

полуоси гиперболы: действительная по ОХ равна a, мнимая по оси ОУ равна b.

Фокусы находятся в точках:

Пример: Построить гиперболу, каноническое уравнение которой:

найти фокусы и эксцентриситет.

Решение: центр симметрии гиперболы находится в точке:Q(1,-2), действительная полуось а=4; мнимая полуось b=3.

с=5.

Фокусы:

Эксцентриситет: =1,25.

Парабола

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:

Характеристическое свойство параболы:

параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается .

Вершина параболы находится посередине между фокусом и директрисой. Фокус находится на оси симметрии внутри параболы, для данной параболы F( перпендикулярна оси симметрии, находится вне параболы, ее уравнение х = .

Пример: Построить параболу, определить ее фокус и директрису:

-4·(x-4)=(y+3)²

Решение: Уравнение параболы в общем виде:

2·p·(x-a)=(y-b)²

В нашем уравнении: a=4,b=-3, 2p=4, p=2.

Фокус:F(a-p/2;b)=F(3;-3)

Директриса x=p/2+a x=5.

Вершина параболы находится в точке Q(4; -3),