Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Пусть необходимо составить уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: и . Вектор является направляющим вектором прямой. Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данной плоскости
Пусть необходимо составить уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно плоскости , заданной уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0. Выпишем нормаль к плоскости, вектор . Для искомой прямой этот вектор является направляющим вектором. Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :
Перевод уравнения прямой из канонического вида в параметрический
Пусть имеется уравнение прямой в каноническом виде: . Для того, чтобы перевести уравнение в параметрический вид, введем параметр t и приравняем каждое отношение к параметру t. В результате получим: .
Прямая в параметрическом виде: где
Перевод уравнения прямой из общего вида в канонический
Пусть прямая задана в общем виде: для того, чтобы перевести ее в канонический вид, возьмем две точки принадлежащие данной прямой, т.е. два частных решения данной системы. Для получения частного решения системы, проще всего одной из переменных дать произвольное значение, например, . Подставить это значение в систему и решить полученную систему с двумя переменными: , например, по правилу Крамера:
, , найдена точка . Если же определитель , то необходимо другой переменной дать произвольное значение, например, и решить систему относительно х и z .Аналогично найти еще одно частное решение системы . И записать уравнение прямой по двум точкам: .
Перевод уравнения прямой из канонического вида в общий
Пусть дана прямая в каноническом виде: . Для того, чтобы ее перевести в общий вид, приравняем попарно отношения ( при условии, что ): после преобразований получим:
Прямая получена в общем виде, как пересечение двух плоскостей. Если же n=0. то можно получить одну из плоскостей, приравняв первое отношение к третьему.
Угол между прямыми в пространстве
Пусть две прямые и заданы каноническими уравнениями:
: и
: .
Выпишем направляющие векторы этих прямых:
, . Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами: . Для нахождения острого угла между прямыми, числитель правой части следует взять по модулю.
· Условие параллельности прямых: ││ ││ , или в координатной форме: .
· Условие перпендикулярности прямых: , а в координатной форме: .
Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями:
: и
: их направляющие векторы соответственно: и . Точка принадлежит прямой , а точка принадлежит .Составим вектор . По взаимному расположению векторов можно судить о взаимном расположении прямых:
Прямые параллельны, если и коллинеарны и
не параллелен
Две прямые пересекаются в пространстве, если и не коллинеарны, а векторы , и компланарны., т.е. их смешанное произведение равно нулю:
Две прямые скрещиваются, если векторы , и не компланарны, т.е. их смешанное произведение не равно нулю.
Угол между прямой и плоскостью
Пусть плоскость задана своим общим уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а прямая в каноническом виде: . Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Обозначим через угол между прямой и плоскостью . Тогда угол между нормалью к плоскости вектором и направляющим вектором прямой будет равен .
Тогда sin =cos . Так как угол , то синус острого угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле:
Условие параллельности прямой и плоскости
Если прямая параллельна плоскости , то векторы и перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно 0. , т.е. в координатной форме: Am+Bn+Cp=0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны, т.е. должно быть выполнено равенство:
|