Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестанов­ке его сомножителей, т. е. .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. , .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении меняющей у произведения знак.

3.Смешанное произведение ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

Пусть векторы заданы своими координатами:

, , . Найдем их смешанное произведение, используя формулы для выражения векторного и скалярного произведений:

.

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Приложения смешанного произведения

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. Если ,то тройка — правая; если , то - левая тройка.

2. Установление компланарности векторов. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю .

3. Объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах, т.е. - объем параллелепипеда;

- объем пирамиды, построенной на векторах

Пример:

По координатам вершин пирамиды найти:

1) косинус угола между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

где ; ; ; .

Решение:

1) Найдем координаты векторов и ;

,

Косинус угола между векторами находится по формуле .

.

, , .

Ответ: .

2) площадь треугольника вычисляется по формуле:

, ,

,

Ответ: кв.ед.

3) Найдем объем пирамиды :

.

Ответ: куб.ед.

Прямая на плоскости

Линия на плоскости

Линия на плоскости рассматривается, как множество точек, обладающих только им присущим геометрическим свойством. Введение декартовой системы координат на плоскости позволяет определить положение произвольной точки ее координатами, а положение линии на плоскости определяется с помощью уравнения. Если уравнение линии имеет вид F(x,y)=0, то любой паре чисел (x,y), удовлетворяющей данному уравнению, соответствует точка М(х,у), принадлежащая линии, и наоборот, координаты любой точки линии обращают ее уравнение в верное тождество.

Если две линии на плоскости заданы своими уравнениями , то задача о пересечении этих линий сводится к решению системы двух уравнений с двумя переменными:

Решениям системы соответствуют координаты точки пересечения заданных линий.

Простейшей из линий является прямая.

Общее уравнение прямой линии на плоскости

Алгебраическое уравнение первой степени относительно х и у задает на плоскости прямую линию

Ах + By + С = 0, и называется общим уравнением прямой

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение имеет вид у = . Это уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0. то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0. то получаем Ах + By =0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0; 0), прямая проходит через начало координат.

Прямая, проходящая через точку, перпендикулярно данному вектору

Опр: Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормалью к прямой.

Составим уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно ненулевому вектору .

Возьмем произвольную точку М(х,у) на прямой.

Так как вектор , то их скалярное произведение равно 0, т.е. , запишем в координатной форме:

Полученное уравнение можно преобразовать к виду: Ах+ Ву-

Замечание: имея общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0, можно выписать координаты нормали к прямой (т.е.вектора, перпендикулярного прямой) .