|
|
Оценка погрешностей результата вычислений
Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений ( V, S, Y ), если известны оценки абсолютных погрешностей измерения участвующих в выражениях величин:
2. Методы решения нелинейных уравнений 2.1.Общие сведения Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным методам, т.е. методам получения последовательности точек При этом итерационный процесс останавливается тогда, когда достигается заданная точность А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше
2.1.1. Метод хорд
Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция Для начала ищется отрезок Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х1. Затем определяется, на каком из отрезков Если Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки
Этот процесс можно увидеть на рис.1. Рис.1
Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:
2.1.2. Метод касательных Ньютона
Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции 1) На найденном отрезке локализации корня 2) 3) Кроме того, на отрезке
Тогда в качестве начального приближения корня выбирается Затем в точке с абсциссой Если достаточно получить точку, в которой Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на
Процесс можно увидеть на рис.2. Рис.2 Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:
2.1.3. Пример 1 Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения Выберем в качестве левой границы отрезка Найдем первое приближение корня Найдем значение функции в этой точке
Проверим, не надо ли прекратить вычисления:
Т.к. Найдем второе приближение корня
Найдем значение функции в этой точке
Т.к.
2.1.4. Пример 2
Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения. Выберем в качестве левой границы отрезка Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: А также на выбранном отрезке вторая производная функции Выберем в качестве первого приближения Найдем второе приближение корня
Значение функции в этой точке равно
Значение функции в этой точке равно
Значение функции в этой точке равно
2.2. Лабораторная работа №2 Решение нелинейного уравнения методом хорд
2.2.1. Задача №1
Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить коэффициент гидравлического сопротивления Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:
Данные по вариантам:
2.2.2. Задача №2
Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить расход дизельного топлива Q( Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:
где a и b – коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;
Данные по вариантам:
2.2.3. Задача №3
Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:
R – универсальная газовая постоянная, T – температура газа, Pc – критическое давление, Tc – критическая температура, V – молярный объем газа.
Воспользовавшись методом деления пополам для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления P итемпературы T. Величины критических параметров Pc и Tc отдельных газов приведены с следующей таблице:
Задания по вариантам:
2.3. Лабораторная работа №3 |
|
, которая сходится к решению уравнения 
.
полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции 
отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину 
.
, содержащего корень, что длина его будет не больше 
. Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения отличается от найденного не больше, чем на 
.
в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.
или 
лежит корень уравнения. Если 
, то корень лежит на отрезке 
становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а 
– левым концом этого отрезка. При этом производят переименование 
и 
.
, то корень – на отрезке 
– правым концом этого отрезка, т.е. 
и 
.
. Остановка производится при нахождении такого приближения 
, что 
. Часто вместо этого метода используют метод деления пополам, где очередное приближение находят по формуле 
. При этом отрезок локализации по длине можно сжать до какого угодно наперед заданного значения. Поэтому остановка процесса может быть произведена при выполнении условия 
.
.
должна сохранять свой знак.
по следующему правилу: 
, где
и 
с точностью 
. Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.
. При этом 
. В качестве правой границы можно взять 
. При этом 
. Выполняется необходимое условие 
.
, значит, точность еще не достигнута.
.
.
, поэтому продолжаем вычисления.
, следующим отрезком будет
. И т.д. до достижения заданной точности.
. Значение функции в этой точке равно 
. В качестве правой границы можно взять 
. Значение функции в этой точке равно 
. А значит, выполняется необходимое условие применения метода 
– непрерывная функция.
.
, т.к. 
.
поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня
поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня
при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки 
) плотностью 
и кинематической вязкостью 
при перекачке по участку трубопровода длиной L= 125 км, диаметром d = 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки 
,
и 
– подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;
и 
– высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.
, где
,
,
