Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

Состояние реального газа в простейшем случае может быть описано уравнением Редлиха-Квонга:

, где

,

,

R – универсальная газовая постоянная,

T – температура газа,

P_c – критическое давление,

T_c – критическая температура,

V – молярный объем газа.

Воспользовавшись методом Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа при заданных значениях P и T.

Критические параметры отдельных газов даны в следующей таблице:

газ	метан	этан	Пропан	n-бутан	i-бутан	n-пентан
	190.55	305.43	369.82	408.13	425.16	469.65
	4.695	4.976	4.333	3.871	3.719	3.435

газ	i-пентан	n-гексан
	460.39	507.35
	3.448	3.072

Задания по вариантам:

3. Методы решения систем линейных уравнений

3.1. Основные понятия

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

В ней a_ij – коэффициенты при неизвестных x_j. Решением этой системы называется такой набор значений неизвестных x_j, который удовлетворяет системе.

Коэффициенты a_ij можно записать в виде матрицы (таблицы):

, правую часть системы в виде вектора , а неизвестные в виде вектора . Тогда систему можно записать в виде матрично-векторного уравнения .

Известно, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная, т.е. (определитель матрицы не равен нулю).

Для решения таких систем используются как прямые методы, в которых получают точные значения неизвестных после применения заранее известного числа операций, так и итерационные методы, в которых число шагов (итераций) заранее неизвестно, и на каждом шаге получают некоторое приближенное решение системы до тех пор, пока не будет получено решение с нужной точностью.

3.1.1. Метод Гаусса

Этот метод относится к прямым методам решения линейных систем. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) и последующем решении этой треугольной системы, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Сначала с помощью первого уравнения исключается из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается из третьего и всех последующих уравнений и т.д. При этом, если в уравнении с номером k отсутствует неизвестная ( ), то производится перестановка этого уравнения с любым нижестоящим уравнением, содержащим эту переменную.

Этот процесс называется прямым ходом Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным .

Если на каком-то этапе этого процесса оказывается, что очередной исключаемой переменной уже нет ни в одном из последующих уравнений, то матрица системы является вырожденной, и метод Гаусса в этом случае неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее уравнение, находят единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют и т.д. Последним находят из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы из трех уравнений:

(1)

Для исключения из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на . Затем, умножив первое уравнение на и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него . Получим равносильную систему уравнений вида:

(2)

Теперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить . Для этого умножим второе уравнение на и прибавим результат к третьему. Получим:

(3)

Матрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом завершается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, о чем уже говорилось выше, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на и т.д. Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3):

Используя это значение, можно найти из второго уравнения, а затем из первого:

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с другим числом неизвестных.

3.1.2. Итерационные методы

Для применения итерационных методов необходимо предварительно исходную систему уравнений (1) привести к виду:

, , , ,

Этот вид получается, если из первого уравнения выразить x₁, из второго x₂ и т.д.:

Пусть – некий произвольно задаваемый вектор начального приближения к решению системы. Тогда для нахождения последующих приближений , где m – номер итерации, а , можно применить один из следующих известных методов: метод простой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод верхней релаксации.

1) Метод простой итерации

В этом методе коэффициенты вектора рассчитываются по формуле:

2) Метод Гаусса-Зейделя

В этом методе коэффициенты вектора рассчитываются по формуле:

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.

Эти условия являются достаточными, но не необходимыми, т.е. для некоторых систем итерационный процесс сходится и при нарушении этих условий.

Процесс итерационных вычислений прекращают, когда разница между двумя последовательными приближенными решениями становится достаточно

малой, т.е. где заданная точность, а , либо .

3.1.3. Пример 1

Найдем решение следующей линейной системы методом Гаусса:

Сначала с помощью первого уравнения исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Это можно сделать так, как было описано выше.

Но мы для простоты понимания проделаем это в два этапа. Сначала сделаем коэффициенты перед переменной x₁ во всех уравнениях равными единице, поделив каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед этой переменной. Т.е. поделив первое на 2, второе на 2, а третье на 4.

Поместив слева схему производимых действий, запишем полученную систему, эквивалентную исходной:

Теперь избавимся от переменной x₁ во втором и третьем уравнениях, вычтя из них первое:

Теперь нам нужно с помощью второго уравнения избавиться от переменной x₂ в третьем уравнении. Сделаем это тоже в два этапа. Сначала поделим второе уравнение на 0.5, а третье уравнение на -1.75. Получим систему:

Далее преобразуем третье уравнение, вычтя из него второе:

На данном этапе система приведена к треугольному виду. Найдем значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в левые части уравнений системы, чтобы убедиться в выполнении условий:

3.1.4. Пример 2

Найдем решение той же системы методом простой итерации, предварительно преобразовав ее так, чтобы выполнялись достаточные условия сходимости.

Имеем систему:

Поставим в ней третье уравнение на первое место, второе уравнение – на третье место, а на втором месте запишем разность второго уравнения и удвоенного первого:

Для такой системы достаточные условия сходимости уже выполняются.

Выразим неизвестные из уравнений, как это предлагается в методе:

Пусть первым приближением решения будет вектор . Тогда следующее приближение рассчитаем по полученным формулам:

Таким образом, имеем следующее приближение решения:

. Следующее приближение:

Таким образом, . Далее

Таким образом, .

Посчитаем разницу между двумя последними приближенными решениями, взяв в качестве : . Тогда . В этом случае, если точность, например, , то процесс вычислений останавливается. Если же требуется более точное приближение, то вычисления продолжают.

3.2. Лабораторная работа №4

Решение системы линейных уравнений

Решить систему линейных уравнений

а) методом Гаусса,

б) методом простой итерации.

Данные по вариантам:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

4. Решение систем нелинейных уравнений

4.1. Основные понятия

В общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде:

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1) можно решить непосредственно. Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. К таким методам относятся метод простой итерации и метод Ньютона.

4.1.1. Метод простой итерации

Система уравнений (1) приводится предварительно к следующему виду:

В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор .

Для нахождения последующих приближенных решений используют формулы:

а). Метод Якоби:

где верхний индекс отмечает номер итерации.

В данном случае для расчета координат последующего приближения координаты предыдущего подставляются в формулы (2).

б). Метод Гаусса-Зейделя:

В этом методе для расчета каждой следующей координаты используются уточненные значения предыдущих координат, уже полученных на данной итерации: , а также неуточненные оставшиеся координаты: , полученные из предыдущего приближения.

в). Метод верхней релаксации:

где уточненное значение переменной по Гауссу-Зейделю, параметр релаксации, .

Достаточное условие сходимости методов простой итерации в области G для любого начального приближения , имеет вид:

4.1.2.Метод Ньютона

Применяется для систем вида (1). Пусть - начальное приближение корня. Для нахождения последующих приближений используют формулу:

где ,

обратная матрица для матрицы Якоби в точке :

Если то в достаточно малой окрестности корня итерационный процесс сходится. В качестве критерия окончания итераций используют условие , например, .

Рассмотрим отдельно случай двух уравнений с двумя неизвестными и выведем формулы для вычисления.

Пусть имеется система: и . Тогда . Обратной матрицей к Якобиану будет .

Введем обозначения , . Тогда рекурентную формулу для расчета приближенного решения можно записать в следующем матрично-векторном виде:

.

Или, после перемножения стоящих справа в этом уравнении матрицы и вектора, имеем:

.

Но

(Обозначим этот определитель символом ),

(Обозначим этот определитель символом ).

Запишем тогда в наших обозначениях формулы покоординатно:

.

4.1.3. Пример 1

Решим систему двух нелинейных уравнений методом простой итерации с применением формулы Якоби:

.

Для этого запишем ее в виде: .

В качестве начального приближения возьмем вектор . Тогда , аналогично и

.

Посчитаем норму разности двух последних приближений:

Если такая точность достаточна, то вычисления прекращают и за искомое решение принимают последнюю найденную точку, т.е. . В противном случае расчеты продолжают.

4.1.4. Пример 2

Решим ту же систему методом Ньютона, предварительно записав ее в требуемом виде . Получим:

, где

, а .

Возьмем в качестве начального приближения вблизи искомого решения. Тогда

.

Получаем . Отсюда

.

Для следующего приближения:

.

Отсюда

.

Для третьей итерации:

Отсюда

.

Сравниваем два последних приближения:

Как хорошо видно, метод Ньютона дает более быструю сходимость по сравнению с методом простой итерации.

4.2. Лабораторная работа № 5