|
|
Построение интерполяционного многочлена Лагранжа
5.3.1. Задача №1
Построить многочлен Лагранжа, интерполирующий профиль высот Данные по вариантам: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
5.3.2. Задача №2
Известно, что использование кислот соляной Проблемы поиска оптимального режима обработки призабойной зоны с целью снижения пластовых потерь нефти приводят к необходимости исследования зависимости количества выпадающего осадка от свойств пластовой воды. В таблице приведены результаты эксперимента по смешиванию
Необходимо построить зависимость процентного содержания осадка, получающегося при смешивании пластовой воды с кислотой
5.3.3. Задача №3
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для зависимости растворимости кварцевого песка в смеси двух кислот (20 % - ной кислоты Данные измерений для отдельных смесей приведены в таблице. Они были получены при температуре
6. Численное интегрирование 6.1. Основные определения Методы численного интегрирования используются в тех случаях, когда необходимо найти значение определенного интеграла вида Есть еще, правда, способ подсчета значения интеграла путем предварительного представления подынтегральной функции в виде степенного ряда Тейлора и последующего интегрирования многочлена, представляющего несколько первых членов этого ряда. Но этот способ мы здесь рассматривать не будем. А рассмотрим находящие наибольшее применение методы численного интегрирования. Вспомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения. Пусть на отрезке
Составим сумму таких произведений:
Сумма
Известно, если  непрерывна на отрезке  , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек  .
Рис. 1 Геометрический смысл введенных понятий для случая Используют следующие методы численного интегрирования.
6.1.1. Метод прямоугольников.
В этом методе непосредственно заменяют значение определенного интеграла интегральной суммой, разбивая обычно отрезок интегрирования на а) Формула левых прямоугольников
б) Формула правых прямоугольников
в) Формула средних прямоугольников
Главные члены погрешностей этих формул равны соответственно:
6.1.2. Метод трапеций В этом методе применяют линейную интерполяцию интегрируемой функции, т.е. график функции
где  .
Рис. 2 Главный член погрешности этой формулы равен:
6.1.3. Метод Симпсона
В этом методе отрезок интегрирования
В качестве В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке
для  ее первообразной будет  .
Рис. 3 Сумма же этих площадей дает нам приближенное значение интеграла. Формула метода Симпсона имеет вид:
Надо упомянуть об одном практическом аспекте в вычислении интегралов. Обычно требуется вычислить интеграл Удовлетворить этому требованию можно, либо выбрав число Посчитать значение интеграла для некоторого Этим приемом часто пользуются на практике, если трудно бывает оценить главный член погрешности.
6.1.4. Пример 1
Вычислим по методу левых прямоугольников интеграл Разобьем отрезок
Тогда Теперь проделаем аналогичные расчеты для И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:
6.1.5. Пример 2 Вычислим по методу трапеций интеграл Разобьем отрезок
Тогда
И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:
6.1.6. Пример 3 Вычислить по методу Симпсона интеграл
Тогда
Теперь проделаем аналогичные расчеты для
И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:
6.2. Лабораторная работа №9 |
|
на участке нефтепровода.
и кремнефтористоводородной 
, благодаря растворению терригенных коллекторов, углубляет и развивает сеть каналов. Но одновременно и ограничивает приток пластовых вод к скважине за счет закупорки фильтрационных каналов в водоносном пласте осадками кремнефторидов.
пластовой воды при температуре 
с кремнефтористоводородной кислотой 
грамм песка и при объеме кислотного раствора 
.
, но аналитически посчитать его значение не представляется возможным из-за сложного вида подынтегральной функции. Известно, что значение определенного интеграла равно 
, где 
– значения первообразной 
для подынтегральной функции 
соответственно. Например, 
. Но далеко не для всякой функции 
. С помощью точек 
разобьем отрезок 
отрезков 
( 
), причем 
. На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку 
и найдем произведение значения функции в этой точке 
на длину отрезка 
:
.
называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции 
0 проиллюстрирован на рисунке 1. Величины 
, являющуюся длиной отрезка разбиения, называют шагом разбиения. В качестве 
) или правые ( 
) границы отрезков разбиения или их середины ( 
). Получают следующие формулы метода прямоугольников, отвечающие этим трем способам выбора точек 
. В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке разбиения заменяется площадью под прямой, которая равна площади прямоугольной трапеции с высотой 
и основаниями 
, т.е. 
. Получается формула трапеций
,
.
подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени: 
можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, график которого проходит через точки 
, где 
.
Главный член погрешности этой формулы равен:
.
с заданной точность 
, т.е. получить такое приближенное значение его 
.
, либо воспользовавшись следующим приемом.
. Затем сделать такие же расчеты для 
. Затем сравнить полученные результаты. Если окажется, что 
, то считать точность достигнутой и принять 
. Если же условие не выполняется, то вновь удвоить число разбиений отрезка и сравнить два последних приближения так, как это было предложено выше. Закончить процесс при выполнении указанного условия и последнее 
с точностью 
.
на 10 частей. Следовательно 
. Воспользуемся формулой:
. Получим 
. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. 
.
.
Теперь проделаем аналогичные расчеты для 
. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. 
.
. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. 
.