Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей

Цель: Формирование навыков вычисления пределов с помощью замечательных пределов, раскрытия неопределенностей

Время выполнения: 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство .

Вычисление предела функции следует начинать с подстановки предельного значения аргумента , ( - число или один из символов , , ) в выражение, определяющее эту функцию. При этом приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

I. Если основная элементарная функция определена в предельной точке , то .

Имеют место основные теоремы, на которых основано вычисление пределов элементарных функций.

1. Если - постоянная величина, то .

2. Если - постоянная величина, то .

3. Если существуют конечные пределы и , то:

;

;

.

II. Функция в предельной точке не определена. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится к применению теорем о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций и связи между ними.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для приводит к одной из неопределенностей:

, , , , , , .

Тогда вычисление предела заключается в раскрытии полученных неопределенностей.

Здесь могут оказаться полезными:

первый замечательный предел , ( - радианная мера угла);

второй замечательный предел .

Кроме того, при раскрытии неопределенностей используют следующие приемы:

1. сокращение дроби на критический множитель при ;

2. избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби;

3. разложение многочленов на линейные или квадратичные множители при , .

Пример

Вычислить пределы:

Задание 1: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение: 1) , при , (на ноль делить нельзя). Таким образом, есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина - бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, то есть .

2) =

= .

3) ; умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель .

=

= .

4) ; вынесем за скобки, получим (при , , - бесконечно малые величины и их пределы равны нулю).

Задание 2: 1) ; 2) .

Решение: 1) ; выполним преобразования и воспользуемся вторым замечательным пределом.

.

2) .

Задания для практической работы

Вычислите пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется пределом функции?

2. Каким образом определяется число ?

3. Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.

4. Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.

5. Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №9

Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва

Цель: Формирование навыков вычисления односторонних пределов, классификации точек разрыва

Время выполнения: 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть .

Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке , то есть .

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функции определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Заметим, что точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и на точки скачка функции (когда ); в последнем случае разность называется скачком функции в точке .

Пример

Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;

2) .

Решение: 1) Пусть . Тогда при функция , а, следовательно, и есть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция - отрицательная бесконечно большая, то есть .

При функция , а, следовательно, и - положительная бесконечно большая функция, то есть .

2) Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция; следовательно, и . Отсюда .

Если , то при получим: - положительная бесконечно малая функция; следовательно, и , тогда . Имеем, .

Задание 2: Даны функции: 1) ; 2) . Найти точки разрыва и исследовать их характер.

Решение: 1) Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков и .

Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва : , .

Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв; есть точка II рода.

2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке : , .

Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому точка I рода, причем точка скачка функции.

Задания для практической работы

1. Вычислите односторонние пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

2. Для данных функций найдите точки разрыва и исследуйте их характер:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Исследуйте на непрерывность функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение непрерывной функции.

2. Что называется точкой разрыва?

3. На какие два типа делятся точки разрыва? Дайте определение.

4. Какие пределы называются односторонними?

5. Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

6. Какая точка называется точкой скачка? Что называется скачком?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №10