Тема: Вычисление производных функций по определению производной

Цель: Формирование навыков вычисления производных функций по определению производной

Время выполнения: 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Производной функции в точке (производной первого порядка) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю: .

Если этот предел конечен, то функция называется дифференцируемой в точке ; в противном случае (то есть если он не существует или равен бесконечности) – не дифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

Дифференциалом функции (дифференциалом первого порядка) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменной .

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению :

.

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

. (10.1)

Соотношение (10.1) остается в силе и тогда, когда есть функция другого аргумента – в этом заключается инвариантность формы первого дифференциала.

Из соотношения (10.1) получаем , то есть производная первого порядка функции равна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

Пример

Задание: Пользуясь определением производной, найти производную и дифференциал функции . Вычислить .

Решение: Найдем приращение функции , соответствующее данному приращению аргумента :

.

Тогда

и

.

По формуле (10.1) находим дифференциал функции:

.

Подставляя в выражение для значение , получим

.

Задания для практической работы

1. Найдите производные и дифференциалы от указанных функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

2. Дана функция . Найдите .

3. Дана функция . Найдите .

4. Дана функция . Найдите , .

5. Дана функция . Найдите , .

6. Дана функция . Покажите, что .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение производной первого порядка.

2. Какая функция называется дифференцируемой? Какая функция называется не дифференцируемой?

3. Что называется дифференциалом первого порядка?

4. Сформулируйте определение дифференциала функции.

5. В чем заключается инвариантность формы первого дифференциала.

6. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №11

Тема: Вычисление производных сложных функций

Цель: Формирование навыков вычисления производных сложных функций

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

, или (11.1)

Это правило распространяется на цепочку из любого количества дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Пример

Задание: Найдите производные функций: 1) ;

2) .

Решение: 1) Предположим, что , где . Тогда по формуле (1) найдем

.

2) Предполагая, что , , , получим

.

Задания для практической работы

Вычислите производные заданных функций пользуясь основы формулами и правилами:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение производной функции.

2. Перечислите правила нахождения производной функции.

3. Какие функции называются дифференцируемыми?

4. Какая функция называется сложной?

5. Как найти производную сложной функции?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №12

Тема: Вычисление производных и дифференциалов высших порядков

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов высших порядков

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от ее первой производной: .

Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной: .

Производная n – го порядка (n – я производная) от функции есть производная от ее (n – 1) – ой производной: .

Дифференциал второго порядка (второй дифференциал) функции есть дифференциал от ее первого дифференциала: .

Дифференциал третьего порядка (третий дифференциал) функции есть дифференциал от ее второго дифференциала: .

Дифференциал n – го порядка (n – ый дифференциал) функции есть дифференциал от ее (n – 1) – ого дифференциала: .

Примеры

Задание 1: Найти , , , …, если .

Решение: ,

,

,

, , .

Задание 2: Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции .

Решение: ,

,

.

Задания для практической работы

1. Найдите производные второго порядка:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

2. Найдите производные третьего порядка:

1) ; 2) .

3. Найдите дифференциалы первого, второго и третьего порядков функций:

1) ; 2) ; 3) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется производной второго порядка?

2. Что называется производной n – го порядка?

3. Что называется дифференциалом функции?

4. Что называется дифференциалом второго порядка?

5. Что называется дифференциалом n – го порядка? По какой формуле он вычисляется?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №13