Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных

Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение

(неявная форма) (17.1)

или

(явная форма) (17.2)

определяет переменную как функцию независимых переменных . Областью определения функции переменных является множество точек -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.

При уравнение (17.1) определяет функцию трех переменных

или ,

Областью определения которой является множество точек трехмерного пространства .

При уравнение (17.1) определяет функцию двух переменных

или .

Частным значением функции называется такое ее значение, которое соответствует системе значений .

Примеры

Задание 1: Найти области определения функций:

1) ; 2) .

Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых , то есть . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность .

2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность .

Задание 2: Найти частное значение функции в точке .

Решение: Подставляя в выражение функции значения и , получим .

Задания для практической работы

1. На плоскости постройте область изменения переменных и , заданные нижеследующими неравенствами. Укажите тип области.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Найдите области определения функций и укажите, что будет являться областью определения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Вычислите частные значения функций:

1) при и ;

2) в точке ;

3) при и .

4. Дана функция . Вычислите , , , , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется областью определения функции переменных?

3. Что называется частным значением функции двух переменных?

4. Что называется границей области?

5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №18

Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Цель: Формирование навыков вычисления частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Частная производная (первого порядка) функции нескольких переменных по одному из независимых аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными. При вычислении частных производных используются обычные формулы дифференцирования.

Частной производной функции двух независимых переменных и по аргументу называется производная этой функции по при постоянном . Аналогично, частной производной функции по аргументу называется производная этой функции, вычисленная при постоянном . Частные производные обозначаются следующим образом: , , , .

Полный дифференциал дифференцируемой функции в некоторой точке есть выражение вида:

, (18.1)

где и вычисляются в точке , а дифференциалы независимых переменных равны их приращениям: , .

Формула (18.1) для дифференциала остается в силе, если и являются функциями каких-либо других аргументов – в этом заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка.

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции любого числа независимых переменных.

Теоремы и формулы для дифференциалов функций двух, трех и так далее аргументов аналогичны соответствующим теоремам и формулам для функции одного аргумента.

Примеры

Задание 1: Найти частные производные следующих функций:

1) ;

2) ;

3) .

Решение: 1) При нахождении частной производной по будем рассматривать как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая как величину постоянную, найдем частную производную по :

.

2) Имеем

;

.

3) Здесь есть функция трех независимых переменных , и . При вычислении частной производной по каждой из этих переменных две другие следует считать постоянными величинами. Следовательно,

; ;

(так как при дифференцировании по и по берется производная от показательной функции, а при дифференцировании по - от степенной функции).

Задание 2: Вычислить полный дифференциал функции в точке .

Решение: Находим частные производные:

;

;

;

.

Таким образом, по формуле (1) получим .

Задания для практической работы

1. Найдите частные производные следующих функций:

1) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) .

2. Найдите полные дифференциалы заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Вычислите значения полных дифференциалов функций:

1) при , , , ;

3) при , , , ;

4) при , , , , , .

4. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется частной производной функции по аргументу ?

2. Что называется частной производной функции по аргументу ?

3. Дайте определение полного дифференциала функции в некоторой точке.

4. В чем заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основная:

1.1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003 – 495 с.

1.2 Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 320 с.

1.3 Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений / под ред. В.А. Гусева. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 384 с.

1.4 Дадаян А.А. Сборник задач по математике: учеб. пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2008. – 352 с. – (Профессиональное образование).

1.5 Математика: учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 552 с. – (Серия «Профессиональное образование»)

2. Дополнительная:

1.1 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1: учеб. пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 304 с.: ил.

1.2 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: учеб. пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 416 с.: ил.

1.3 Малыхин В.И. Высшая математика: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 365 с. – (Высшее образование).

1.4 Шипачев В.С. Основы высшей математики: учеб. пособие для вузов / под ред. акад. А. Н. Тиханова. – 5-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.: ил.

1.5 Линьков В.М., Яремко Н.Н. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум: учеб. пособие / под ред. А.А. Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2006, - 320 с.: ил.

Информационные ресурсы:

Методические указания

по выполнению практических работ

для студентов специальностей

230115 Программирование в компьютерных системах

230401 Информационные системы (по отраслям)