Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель:Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .

Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение: 1) ;

2) ;

3)

Задания для практической работы

Вычислите определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6)

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

5. Сформулируйте теорему о среднем.

6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.

7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №16

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).

Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то .

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .

Примеры

Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями , , и (рис. 6).

Решение: квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:

.

Ответ:

Задания для практической работы

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.

2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .

6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .

Вопросы для самоконтроля:

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?

2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?

3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?

4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?

5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №17