Тема: Вычисление определенных интегралов Цель:Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница
На выполнение работы отводится 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .
Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .
Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.
Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Примеры
Вычислить следующие определенные интегралы:
1) ; 2) ; 3) .
Решение: 1) ;
2) ;
3)
Задания для практической работы
Вычислите определенные интегралы:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) 6)
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) .
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?
2. Дайте определение определенного интеграла.
3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?
5. Сформулируйте теорему о среднем.
6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.
7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
Практическая работа №16
Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов
Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.
Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).
Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .
Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .
В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .
Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то .
Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .
Примеры
Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями , , и (рис. 6).
Решение: квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: , отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:
.
Ответ:
Задания для практической работы
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.
2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .
6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
Вопросы для самоконтроля:
1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?
2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?
3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?
4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?
5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
Практическая работа №17
|