Закон сохранения момента импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О, тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами . Пусть материальные точки обладают импульсами , и пусть между материальными точками системы действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Определим моменты этих сил относительно начала координат: - момент внутренней силы , - момент внешней силы . Определим также моменты импульсов материальных точек . Далее для каждой материальной точки запишем закон изменения момента импульса Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим Силы взаимодействия между материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно начала координат О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В результате получим . Если система материальных точек является замкнутой, то , и тогда имеет место закон сохранения момента импульса - закон сохранения момента импульса системы материальных точек. Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение как векторные величины. Связь между векторами скорости и угловой скорости.

Угловая скорость и угловое ускорениеРассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1). Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δφ. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются Δφ или dφ). Модуль вектора dφ равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 1). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dφ (рис. 2). Размерность угловой скорости ω=Т^-1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с). Линейная скорость точки (см. рис. 1)

Рис.1
т.е v=ωR.В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: При этом модуль векторного произведения, по определению, равен ωRsin(ω, R), а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта его вращения от ω к R.

Рис.2

Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt=Т соответствует Δφ=2π, то ω=2π/T, откуда Т=2π/ω. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: n=1/T=ω/(2π), откуда ω=2πn. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной yгловой скорости по времени:

Рис.3

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4).

Рис.4
Тангенциальная составляющая ускорения a_τ=dv/dt , v=ωR и Нормальная составляющая ускорения Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а_τ, нормальное ускорение а_n) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами: s=Rφ, v=Rω, а_τ=Rε, a_n=ω²R. В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const) ω=ω₀±εt, φ=ω₀t±εt²/2, где ω₀ — начальная угловая скорость.