Среднее квадратичное отклонение, дисперсия и их свойства

В качестве показателя размера вариации вариант в статистике принято среднее квадратичное отклонение S. Для его вычисления все отклонения возводятся в квадрат, потом вычисляется среднее из полученных квадратов – средний квадрат отклонений, а затем из этого среднего извлекают корень. В экспериментальных распределениях при определении среднего квадрата квадраты отклонений делятся на (N-1)

.

(2-1.7)

Дисперсия распределения D:

.

(2-1.8)

Формулу дисперсии (2-1.8) легко представить в другом виде, более удобном для вычисления: .

Свойства дисперсии и среднего квадратичного отклонения:

1. Если все значения вариант увеличить на одну и ту же величину а, то на ту же величину а увеличивается их среднее арифметическое. Отклонения же останутся без изменения. Значит, останутся без изменения дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

2. Если все значения вариант умножить на одно и то же число К, то в К раз увеличится их среднее арифметическое , отклонения от среднего арифметического - и среднее квадратичное отклонение S (дисперсия) увеличится в К² раз.

3. Средняя величина квадратов отклонений вариант от любой величины а, больше дисперсии D_. на квадрат отклонения этой величины а от среднего арифметического вариант.

4. Если совокупность разбита на несколько частей, то общая дисперсия является суммой средней величины дисперсии внутри отдельных частей совокупности D_i и среднего квадрата отклонения частных средних от общей средней ²

Мода

Важным показателем характеристики распределения является мода. Мода – это наиболее часто встречающееся значение варианты. Мода – это значение варианты, которой соответствует наибольшая относительная частота.

Рис. 2-1.2. Положительная асимметрия Рис. 2-1.3. Отрицательная асимметрия

Асимметрия и эксцесс

Гистограммы распределений изучаемых статистических совокупностей довольно часто бывают асимметричными (рис.2-1.2,2-1.3), Если среднее арифметическое лежит правее моды, то асимметрия положительная, если левее моды – отрицательная. Для статистической оценки распределения необходимо вычислять меру асимметрии, называемую коэффициентом асимметрии

вычисления. В основу коэффициента асимметрии положено среднеквадратичное отклонение, которое даёт возможность более полно учесть крайние значения вариант. При наличии асимметрии одна сторона кривой дает большее кубическое отклонение, чем другая, и так как знак при кубическом отклонении сохраняется, то разница между суммами кубических отклонений показывает положительную либо отрицательную асимметрии.

Показатель эксцесса выражается следующей формулой:

^.

ЕслиЕ > 1 , то эксцесс положительный и вершина кривой будет выше нормальной, и наоборот, если Е < 1 , то эксцесс отрицательный, вершина кривой ниже нормальной (рис. 2-1.4).

Теоретическое распределение

Теоретическое распределение – это математическая модель распределения вероятности по значениям дискретной случайной величины или по интервалам непрерывной случайной величины.

Вероятность

В эмпирическом распределении относительное число попаданий в заданный интервал дается частостью , в теоретическом распределении подобная величина называется вероятностью. Вероятность есть мера объективной возможности данного события. Вероятность связана с частостью появления переменной величины:

.

(2-1.9)

Вероятность выражает вполне определенную, хотя и своеобразную, связь между постоянным комплексом условий и случайным событием в поле испытаний, количественно характеризуя единство необходимого и случайного. Конкретный смысл вероятности заключается в том, что она определяет среднюю частость, с которой можно ожидать появления события в длинных сериях испытаний. Значение вероятности изменяется в пределах от нуля до единицы.