Квантовая теория теплоемкости Эйнштейна

Первоначальная квантовая теория теплоемкости твердых тел была развита А.Эйнштейном в 1905 г. В основе ее лежало предположение о том, что каждый атом, гармонически колеблющийся в узле кристаллической решетки, имеет три степени свободы, причем в кристалле, построенном из частиц одного сорта, все атомы колеблются независимо друг от друга с одинаковой частотой. Кроме того, А.Эйнштейн предположил, что энергия атома, гармонически колеблющегося в узле решетки с частотой ν, может принимать не любые, а только вполне определенные значения, кратные величине кванта энергии hν, где h = 6,62·10^-34 Дж·с – постоянная Планка. Энергия ε, приходящаяся на одну степень свободы атома, принимает значения:

ε = nhν (n = 0, 1, 2, 3 …). (2-7.5)

Впоследствии выяснилось, что необходимо принимать во внимание так называемую нулевую энергию hν/2, которая сохраняется даже при абсолютном нуле температуры. Эта энергия не связана с тепловым движением атомов и не влияет на теплоемкость кристаллов. Наличие нулевой энергии сказывается на рассеянии рентгеновских лучей при низких температурах.

Частота атомных колебаний в кристаллах имеет величины порядка 10¹³ с^-1. Это соответствует кванту энергии hν порядка 10^-20 Дж, величина которого близка к средней энергии на одну колебательную степень свободы частицы, вычисленной по классической теории ( = kT) при температуре порядка 300 К.

Внутренняя энергия моля твердого тела, состоящего из атомов, независимо колеблющихся с частотой ν, может быть вычислена по формуле (2-7.3), где под следует понимать среднюю энергию, приходящуюся на одну колебательную степень свободы атомов, имеющих одно из указанных в формуле (2-7.5) значений энергии.

Задача определения среднего значения энергии осциллятора была решена в 1900 г. М.Планком в его исследованиях по теории теплового излучения. Этот очень важный вопрос будет подробно рассмотрен при изучении раздела “Оптика”. Сейчас отметим только, что М.Планком была получена следующая формула для :

(2-7.6)

Вывод формулы (2-7.6) можно найти в [2,3,4].

При высокой температуре, когда или <<1, показательная функция близка к единице, поэтому можно воспользоваться следующей приближенной формулой, справедливой при х<<1: .

Тогда формула (2-7.6) приводит к классическому результату:

.

Получается, что при высоких температурах средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную степень атома, не зависит от частоты его колебаний. В этих условиях теплоемкость твердого тела подчиняется закону Дюлонга и Пти (2-7.4).

Если kT<<h или , то и . Поэтому в знаменателе формулы (2-7.6) можно пренебречь единицей, тогда средняя энергия оказывается равной , т.е. очень быстро убывает с уменьшением температуры. Таким образом, квантовые представления позволяют объяснить известное положение термодинамики, согласно которому теплоемкость конденсированных систем стремится к нулю при . Это положение называется третьим законом термодинамики или теоремой Нернста.

Рассмотрим несколько подробнее зависимость теплоемкости твердых тел, состоящих из одинаковых атомов, от температуры. Запишем внутреннюю энергию моля твердого тела по формулам (2-7.3) и (2-7.6) в виде

,

а теплоемкость как

. (2-7.8)

Умножив числитель и знаменатель (8) на k и учтя, что , получим

. (2-7.9)

Это и есть формула Эйнштейна. Проанализируем ее. Допустим, что температура очень высока, т. е. , тогда множитель в квадратных скобках выражения (2-7.9) с учетом (2-7.7) стремится к единице и, следовательно, lim , что, в соответствии с опытом, доказывает справедливость закона Дюлонга и Пти при высоких температурах.

Из формулы (2-7.9) следует также (если раскрыть неопределенность), что при очень низких температурах lim .

Итак, теория теплоемкости твердых тел Эйнштейна представляла собой крупный шаг вперед по сравнению с классической теорией. Она дает для молярной теплоемкости нуль при абсолютном нуле температуры и приводит к закону Дюлонга и Пти при высоких температурах. Более того, теория Эйнштейна показывает, что температура, при которой молярная теплоемкость достигает значения 3R, зависит от частоты колебаний атомов.

Так как и - величины постоянные, а для данного твердого тела в теории Эйнштейна также считается величиной постоянной, то можно найти такую температуру , при которой .При этой температуре, различной для разных тел, молярные теплоемкости всех твердых тел будут одинаковы. Действительно, внеся в (9), находим, что

.

Температура , при которой молярная теплоемкость твердого тела становится равной 2,78R, является характеристической температурой Эйнштейна. Например, для алмаза (легкие атомы С) характеристическая температура равна 1475 К, а для свинца (тяжелые атомы Pb) она равна 88 К.

Основным недостатком теории теплоемкости твердых тел Эйнштейна является расхождение ее с опытом в области низких температур. По формуле (2-7.9) при теплоемкость слишком быстро стремится к нулю - приблизительно экспоненциально. Опыт показывает, что в действительности приближение теплоемкости к нулю идет по степенному закону ~ . При других температурах формула Эйнштейна также находится только в качественном, но не в количественном согласии с опытом. Эти расхождения связаны с упрощением расчета, в котором предполагается, что все гармонические осцилляторы колеблются с одной и той же частотой. На самом деле кристаллическую решетку следует рассматривать как связанную систему взаимодействующих частиц. При вычислении теплоемкости тело можно рассматривать как систему гармонических осцилляторов, но с различными частотами. Задача сводится к вычислению этих частот, т. е. к отысканию так называемого спектра частот. Но это было указано еще самим Эйнштейном.