Вероятность дискретного пространства.

Пусть Ω дискретно и элементарные события равновозможные, тогда говорят, что заданы вероятности элементарных событий, если на Ω задана неотрицательная числовая функция Р≥0 такая, что =1. Также говорят, что эта числовая функция задаёт на Ω распределение вероятностей.

Вероятностью события А называется число равное:

P(A)=

Свойства вероятностей:

P(Ω)=1, P(∅)=0

∀ ∅ ⊆ А ⊆ Ω, 0 ≤ Р(А) ≤ 1

Если , , …, ,… непересекающиеся события, то Р( ) = ( ).

Если событие при воспроизведении определённого комплекса условий обязательно наступает, то оно называется достоверным и обозначается через U. Если же оно никогда не наступает, то оно называется невозможным и обозначается через V. P(U)=1, P(V)=0. C учетом вышесказанного имеем: Ω=U, ∅=V.

Пусть Ω - конечно, т.е. Ω={ , …, } и ω_i – равновозможные, тогда Р( )= , i= и пусть A_i - одноэлементные непересекающиеся события, т.е. A_i={ }, i= , тогда Р( )= , i= , причем ( )=1.

Если событие А можно представить в виде суммы каких-то m событий т.е. А= + +…+ (m<n), то тогда Р(А)= (1)

формула классической вероятности, где n – число всех элементарных событий, а m – число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А.

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. К описанию такой ситуации было приспособлено геометрическое определение вероятности.

Пусть Ω является измеримой областью и пусть ℱ - система измеримых подмножеств множества Ω. Тогда, если А ℱ, то вероятность А определяется как: .

В качестве меры можно рассматривать длину, площадь, объем и др.

Существуют задачи, в которых невозможно рассмотреть полную систему равновозможных событий и выделить из них благоприятствующие появлению данного события. В таких задачах вероятность события оценивают при помощи опыта, т.е. находят относительные частоты появления события как отношение μ= , где - число появлений события в серии опытов. Если число испытаний мало, то частота появления события носит случайный характер. При большом числе испытаний она проявляет устойчивость. Поэтому говорят, вероятностью события называется объективно существующая величина (мера), около которой группируются относительные частоты появления этого события (статистическое определение вероятности).

Комбинаторика. Комбинаторные задачи.

При решении многих практических задач приходиться выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагать их в определённом порядке и т.д.

Задачи, речь в которых идёт о тех или иных комбинациях, соединениях, а также их подсчёте называются комбинаторными, а область, изучающая эти задачи, называется комбинаторикой.

Правила комбинаторики:

I) Правило суммы: Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В – n способами, то элемент «либо А, либо В» можно выбрать m+n способами.

II) Правило произведения:

Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В – n способами, то элемент «и А, и В» можно выбрать m n способами.

Существуют три типа соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Упорядоченной строкой длины m называется объект состоящий из m элементов , каждый из которых занимает определенное место.

Размещениями из n элементного множества X по m называются всевозможные упорядоченные строки длины m.

а) Размещения с повторениями:

б) Размещения без повторений:

Замечание: ; .

Перестановками без повторений из n-элементного множества X по n называются размещения без повторений этих элементов по n.

Сочетаниями без повторений из n-элементного множества X по m называются всевозможные m-элементные подмножества из n-элементного множества X.

Перестановками с повторениями состава (m₁, m₂, …, m_k) из элементов ( ) называются всевозможные упорядоченные строки длины n= m₁+ m₂+…+m_k, где элемент занимает m₁ место, элемент занимает m₂ место, … , элемент занимает m_k место.

Пусть имеются предметы n видов и из них составляются наборы, содержащие m элементов, такие наборы называют сочетаниями с повторениями из n по m.

Вероятностное пространство.

Если Ω - пространство элементарных событий, а 𝒜 – алгебра или σ-алгебра его подмножеств, то тогда <Ω, A> - измеримое пространство и в качестве меры в нем рассматривается числовая неотрицательная функция P≥0.

Вероятностью на измеримом пространстве <Ω, A> называется числовая неотрицательная функция, обладающая следующими свойствами:

. ∀А∈𝒜 P(A)≥0;

. P(Ω)=1;

. Если {A_n} - последовательность непересекающихся событий, где A_n∈𝒜, n∈ℕ, то P( )= (аксиома счетной аддитивности)

Если дана последовательность убывающих событий: А₁⊃А₂⊃…⊃А_n⊃…, где A_n∈𝒜, n∈ℕ и то

=0 (аксиома непрерывности).

Тройку <Ω, 𝒜, P> называют вероятностным пространством, если Ω - пространство элементарных событий, а 𝒜 – алгебра или σ-алгебра его подмножеств, а P - числовая неотрицательная функция удовлетворяющая аксиомам 1-4.

Совместные, несовместные события. Сложение вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Независимость в совокупности. Умножение вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса.

Пусть <Ω, 𝒜, P> вероятностное пространство. События А и В называются несовместными, если А∙В=∅, в противном случае события А и В называются совместными.

Теорема 1. Если события А и В несовместные, т.е. А∙В=∅, то P(A+B)=P(A)+P(B).

Следствие 1.Если , , …, несовместные события, то P( )= .

Следствие 2.Если , , …, полная группа событий то =1.

Замечание.Противоположными событиями являются два несовместных события образующих полную группу, поэтому сумма вероятностей противоположных событий равна единице. А поэтому

Теорема 2. Если события А и В совместные, т.е. А∙В≠∅, то

P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB).

Следствие 1.

P(A+B+С)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC)

Следствие 2.

P( + +…+ )=

…+ P( ∙ ∙…∙ ).

Пусть P(B)>0, тогда условной вероятностью события А при условии, что событие В наступило, называют отношение вероятности совместного наступления событий А и В к вероятности события В, которое наступило: (A) = .

Таким образом, из определения условной вероятности следует, то P(AB) = P(B)∙ (A).

События А и В называются независимыми, если: P(AB) = P(B)∙P(A)

Следствие 1. Если события А и В независимые, то вероятность события А равна условной вероятности события А при условии В: P(A) = (A).

Следствие 2. Если события А и В независимы, то независимы А и .

Следствие 3. События , , …, называются независимыми в совокупности, если ∀ 1≤ ≤ ≤ ≤…≤ ≤n, где r= , то P =

Теорема 3. Вероятность двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого: .

Следствие. .

Теорема 4. Пусть А∈𝒜 и , , …, - полная группа событий, при этом ∈𝒜 i= . Если событие А может наступить при условии наступления одного из событий (i= ) то вероятность события А находят по формуле полной вероятности:

Замечание. События , , …, называются гипотезами и так как они образуют полную группу событий, то сумма вероятностей гипотез равна 1:

Теорема 2. Пусть А∈𝒜 и , , …, - полная группа событий, при этом ∈𝒜 i= . Если событие А может наступить при условии наступления одного из событий (i= ) и известно, что событие А наступило, то тогда вероятность события (i= ) можно найти по формуле Байса:

Следствие.