Числовые характеристики случайных величин.

1. Математическое ожидание

Математическим ожиданием случайной величины Х называется число равное M(Х)= , при условии, что ряд абсолютно сходиться, при этом:

а) если Х – дискретная случайная величина, то M(x)= ;

б) если Х – непрерывная случайная величина, то M(x)= .

Свойства математического ожидания.

M(c)=c, где c=const.

M(c∙X)=c∙M(X), где c=const.

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Если X и Y независимы, то M(X∙Y)=M(X)∙M(Y).

Если Y=φ(Х), то M(Y)=M(φ(Х)), при этом:

a) если Х – дискретная случайная величина, то M(Х)= ;

б) если Х – непрерывная случайная величина, то M(Х)= ..

2. Дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется число равное D(Х)=M , где X-M(X) – отклонение случайной величины Х от математического ожидания.

Если Х – дискретная случайная величина, то D( )=

Если Х – непрерывная случайная величина, то D( )=

Замечание. D( )=M( )- , при этом:

а) если Х – дискретная случайная величина, то D( )= - ;

б) если Х – непрерывная случайная величина, то D( )= - .

Свойства дисперсии:

D(X)≥0.

D(c)=0, где c=const.

D(cX)= D(X), где c=const.

Если X и Y независимы, то D(X+Y)=D(X)+D(Y).

D(X+c)=D(X), где c=const.

Замечание. Дисперсия характеризует рассеяние значений случайной величины от математического ожидания.

3. Среднеквадратическое отклонение.

σ(X)=

Свойства среднеквадратичного отклонения:

σ(X)≥0

σ(c)=0, где c=const;

σ(cX)= (X), где c=const;

Если X и Y независимы, то σ(X+Y)=

σ(X+c)= σ(X), где c=const.

Помимо вышеуказанных числовых характеристик используют моменты случайных величин.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число равное (X)=M( ).

Замечаем, что (X)=M( ), (X)=M( ).

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число равное (X)= M .

Замечаем, что (X)=0, (X)=D(X).

Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называют число a(X)= . Он характеризует «косость» ряда распределения: а) если a(X)=0, то ряд распределения симметричен относительно математического ожидания; б) если a(X)>0, то ряд распределения справа длиннее; в) если a(X)<0, то ряд распределения слева длиннее.

Эксцессом случайной величины Х называется число e(X)= . Он характеризует степень «сглаженности» ряда распределения по сравнению с нормальным распределением, у которого эксцесс равен нулю. Если e(X)>0, то ряд распределения случайной величины X более «островершиннее, чем плотность нормального распределения, если же e(X)<0, то ряд распределения более «сглажен» по сравнению с плотностью нормального распределения.

Если случайная величина X принимает только положительные значения и существует математическое ожидание, то для любого положительного справедливо неравенство (лемма Чебышева).

Если существует математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, то оценить вероятность того, что , где , можно по неравенству Чебышева: .

Образец выполнения лабораторной работы №2.

Задание1.

Два стрелка стреляю по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.5, а для второго- 0.6. Составить закон распределения случайной величины X, равной числу попаданий в мишень двумя стрелками.

Решение.

Пусть X- число попаданий в мишень двумя стрелками. Так как каждый стрелок делает по одному выстрелу, то случайная величина Х принимает значения от 0 до 4 и так как они стреляют независимо друг от друга и известны вероятности попадания в мишень каждым стрелком, то для нахождения вероятностей значений случайной величины Х воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

	0.04	0.2	0.37	0.3	0.09

Замечаем, что сумма вероятностей всех значений случайной величины X равно 1.

Задание 2.

Случайная величина Х задана законом распределения:

	-1
	0,1	0,2	0,1	0,5	0,1

Требуется:

а) найти и построить функцию распределения случайной величины Х;

б) найти числовые характеристики М(Х), D(X), ;

в) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из промежутка (0;2] двумя способами.

Решение.

a) Функцию распределения случайной величины найдем по формуле: .

Вычислим значение функции в каждом значении случайной величины и перенесем на числовую ось.

Таким образом, функция распределения случайной величины X имеет вид:

Построим график функции распределения:

Найдем числовые характеристики случайной величины .

Найдем вероятность события.

Так как - дискретная случайная величина, то для того чтобы найти вероятность события , необходимо выяснить какие значения случайной величины попали в интервал (0;2]. Замечаем, что в этот интервал попали , тогда . С другой стороны, вероятность события можно найти по формуле P( ≤X< )= ( )- ( ). Так как , , то .

Задание 3.

Случайная величина Х задана плотностью распределения:

Требуется:

а) найти постоянную величину ;

б) найти функцию распределения случайной величины Х;

в) найти числовые характеристики M(X), D(X), ;

г) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала

.

Решение.

а) Постоянную величину найдем из того, что – нормированная величина, т.е. . Имеем:

б) Функцию распределения найдем по формуле:

Пусть , тогда ;

пусть , тогда

пусть , тогда

Таким образом, функция распределения имеет вид:

в) Найдем числовые характеристики:

(

г) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала найдем по формуле: .

Задание 4.

Оценить вероятность попадания значения случайной величины X в множество (-∞; -3) (5; ), если M(X) = 1, D(X) = 1.

Решение.

Так как математическое ожидание делит множество [-3;5] пополам, то для оценки попадания значения случайной величины X в множество (-∞; -3) (5; ) воспользуемся неравенством Чебышева: .

Раскроем модуль .

Имеем,

Таким образом, . Так как события и противоположные, то .

Ответ: .

Задание 5.

Случайная величина Х может принимать только неотрицательные значения, а ее среднее значение равно 100. Оценить снизу вероятность того, что в результате опыта величина Х примет значение, меньшее 120.

Решение.

Так как случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и М(Х)=100, то согласно лемме Чебышева имеем, что

Таким образом, вероятность того, что величина Х примет значение, меньшее 120, не меньше 1/6 или 0,67%.

Контрольные вопросы для защиты лабораторной работы №2.

1. Случайная величина, классификация. Дискретные случайные величины. Ряд распределения ДСВ, его свойства и способы задания. Вероятность попадания ДСВы в некоторый интервал.

2. Функция распределения, ее свойства. Вероятность того, что СВ примет какое-то конкретное значение.

3. Биномиальное распределение, числовые характеристики. Простейший поток событий, его свойства.

4. Распределение Пуассона, числовые характеристики.

5. Непрерывное распределение. Плотность распределение, его свойства. Вероятность попадания НСВ в некоторый интервал.

6. Равномерное распределение НСВ, ее функция распределения и числовые характеристики. Графики функции и плотности распределения этой величины.

7. Экспоненциальное распределение НСВ, ее функция распределения и числовые характеристики. Графики функции и плотности распределения этой величины.

8. Нормальное распределение НСВ, ее функция распределения и числовые характеристики. График плотности распределения этой величины. Вероятность попадания нормальной СВ в некоторый интервал.

9. Распределения, получаемые из нормального распределения: χ²- распределение, распределение Стьюдента, Распределение Фишера-Снедекора.

10. Математическое ожидание, его свойства.

11. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, их свойства. Теорема о вычислении дисперсии (доказать).

12. Моменты случайных величин. Коэффициент асимметрии и эксцесс, их смысл и точечные оценки.

13. Лемма Чебышева. Неравенство Чебышева.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

Тема: Функции от случайных величин. Многомерные случайные величины.

Цель: 1. Нахождение законов (плотностей) распределения функций от случайных величин и двумерной случайной величины.

2. Нахождение числовых характеристик функций от случайных величин.

3. Нахождение условных законов распределения случайных величин.

4. Нахождение условного математического ожидания.

5. Нахождение числовых характеристик двумерной случайной величины.

6. Применение теорем закона больших чисел для последовательности случайных величин.

Требования к работе.

1. Каждую задачу решаем в Word с использованием редактора формул, а также таблиц Excel для вычисления характеристик случайной величины.

2. Для построения графиков использовать графические пакеты Matcad, Origin и др.

3. Работу распечатать в формате А-4.

4. Ответить на контрольные вопросы и защитить.