Закон больших чисел. Предельная теорема.

Как известно нельзя заранее уверенно предвидеть какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытаний; это зависит от многих случайных причин. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Эти условия рассматриваются в теоремах, носящие общее название закона больших чисел. Таким образом, теоремы, относящиеся к закону больших чисел, устанавливают условия сходимости среднего арифметического n случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к числу b, если для любого при .

Лемма Чебышева. Если случайная величина X принимает только положительные значения и существует его математическое ожидание, то для любого положительного справедливо неравенство: .

Неравенство Чебышева. Если существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, то для любого справедливо неравенство:

.

Теорема Чебышева. Если - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены, т.е. ,то как бы мало не было положительное число вероятность неравенства будет как угодно близка к единице, т.е.

Следствие. Если - попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, то к ним применима теорема Чебышева, т.е.

Закон больших чисел может быть распространен и на случай зависимых случайных величин. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит Маркову.

Теорема Маркова. Если имеются зависимые случайные величины и если при то среднее арифметическое значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т.е. для любого

Образец выполнения лабораторной работы №3.

Задание 1.

Дано распределение случайной величины X:

	-3	-1
	0,2	0,3	0,1	0,1	0,3

Найти закон распределения случайной величины и математическое ожидание случайной величины Y двумя способами.

Решение.

Для того чтобы найти закон распределения случайной величины Y, необходимо подставить в функцию вместо X значения этой случайной величины. Получим значения случайной величины Y.

Имеем

Так как каждому значению случайной величины X соответствует одно значение случайной величины Y, то вероятности значений случайной величины Y равны вероятностям соответствующих значений X. Таким образом, закон распределения случайной величины Y имеет вид:

	-94	-34	-10	-8	-4
	0,3	0,1	0,3	0,1	0,2

Найдем M(Y) двумя способами.

Так как известен закон распределения случайной величины Y, то .

Имеем,

С другой стороны,

Найдем

Тогда

Задание 2.

Случайная величина Х задана плотностью распределения:

Найти плотность распределения случайной величины и математическое ожидание этой случайной величины двумя способами.

Решение.

Плотность распределения СВ Y найдем по формуле:

, где .

Так как , то . Найдем производную от . Имеем .

Тогда .

Найдем интервал изменения y. Так как , то . Таким образом, плотность распределения CВ Y имеет вид:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y.

Так как известна плотность распределения CВ Y, то

Имеем,

С другой стороны, так как то .

Имеем,

Замечаем, что значения , найденные двумя способами совпадают, следовательно, вычисления проведены верно.

Задание 3.

Даны законы распределения двух случайных величин X и Y.

	-1
	0,3	0,2	0,5

	-1
	0,5	0,5

Составить закон распределения случайной величины и найти математическое ожидание этой случайной величины двумя способами.

Решение.

Найдем значения случайной величины и соответствующие вероятности:

Так как среди значений случайной величины есть одинаковые, то их вероятности складываем. Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

	-2	-1
	0,25	0,1	0,4	0,1	0,15

Математическое ожидание случайной величины найдем по формуле:

С другой стороны, . Найдем и .

Имеем, . Замечаем, что значения математических ожиданий случайной величины найденные двумя способами совпадают, следовательно, вычисления произведены верно.

Задание 4.

Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) задана законом распределения:

Требуется: 1) составить законы распределения составляющих X и Y; 2) составить закон распределения случайной величины X при условии, что ; 3) найти 4) найти вероятность события . Выяснить, зависимы ли случайные величины X и Y?

Решение.

1) Для нахождения законов распределения случайных величин X и Y, сложим вероятности построчно и по столбикам в законе распределения двумерной случайной величины (X,Y). В результате имеем,

X	0,2	0,4	0,6	0,8
	0,3	0,3	0,2	0,2

Y	-2	-1
	0,3	2,5	2,0	2,5

2) Найдем условный закон распределения случайной величины X при условии, что . Для этого воспользуемся следующей формулой:

Замечаем, что случайная величина X принимает значения 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. При этом вероятности равны:

Таким образом, условный закон распределения имеет вид:

	0,2	0,4	0,6	0,8
	0,2	0,2	0,2	0,4

3) Найдем , используя формулы: , .

4) Для того чтобы найти вероятность события , смотрим какие значения случайной величины (X,Y) попадают внутрь этой полосы. Это , , , . Тогда Так как безусловный закон распределения Х не совпадает с его условным законом распределения, то случайные величины X и Y зависимы.

Контрольные вопросы для защиты лабораторной работы №3.

1. Функции от одной случайной величины, плотность и функция распределения, числовые характеристики.

2. Двумерные случайные величины, классификация. Ряд и функция распределения дискретной ДвСВ, ее свойства. Числовые характеристики.

3. Двумерные случайные величины, функция и плотность распределения непрерывной ДвСВ, свойства. Вероятность попадания случайной точки в область.

4. Независимость случайных величин. Следствия.

5. Условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины. (дискретные и непрерывные). Условные математические ожидания.

6. Закон больших чисел. Лемма Чебышева. Неравенство Чебышева.

7. Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Следствие.

8. Закон больших чисел для зависимых случайных величин. Теорема Маркова А.А.

ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

Лабораторная работа №1.

Задание 1.

1. На складе имеется 20 кинескопов, причем 12 из них для цветных телевизоров. Найти вероятность того, что среди взятых 7 кинескопов окажутся 4 кинескопа для цветных телевизоров.

2. Группа из 6 мужчин и 4 женщин делится случайным образом на две равные части. Найдите вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково.

3. В коробке 14 фруктов, среди которых 10 груш. Наудачу взяли 4 фрукта. Какова вероятность того, что среди них 2 груши?

4. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что среди них один мастер спорта?

5. В корзине 15 фруктов, среди которых 5 груш. Наудачу взяли три фрукта. Какова вероятность того, что среди них одна груша?

6. В группе 20 студентов, из которых 12 владеют английским языком. Наудачу отобрали 5 студентов. Какова вероятность того, что среди них 3 владеют английским языком.

7. В классе 30 учеников, из которых 5 левши. Наудачу отобрали 3 учеников. Какова вероятность того, что среди них один левша?

8. В группе 28 студентов, из которых 18 девушек. Наудачу отбирают 11 студентов. Какова вероятность того, что среди них 7 девушек?

9. В классе 25 учеников, из которых 10 посещают секцию по волейболу. Наудачу отобрали 4 учеников. Какова вероятность того, что среди них три волейболиста?

10. Из 30 студентов группы 16 успевают на «4» и «5». Из этой группы случайно отобрано 10 студентов. Найти вероятность того, что 6 из них успевают на «4» и «5».

11. Группа, состоящая из 5 юношей и 7 девушек, распределяют по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что 2 девушки получат билеты?

12. В цехе работают 10 мужчин и 7 женщин. По табельным номерам наудачу отобрали 5 человек. Какова вероятность того, что среди них будут 2 женщины?

13. Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду в составе четырех человек. Какова вероятность того, что в составе этой команды окажутся два юноши и две девушки?

14. В коробке 9 теннисных шаров, из которых 6 игранных. Наудачу отбирают 4 шара. Какова вероятность того. что среди них 2 игранных шара?

15. В группе 20 студентов, из которых 8 курящих. Наудачу отобрали 3 студентов. Какова вероятность того, что среди них 2 курящих?

16. В пенале 18 ручек, среди которых 7 с красной пастой. Наудачу извлекли 5 ручек. Какова вероятность того, что среди извлеченных ручек три с красной пастой.

17. В коробке 25 шприцов, из которых 10 инсулиновых. Наудачу взяли 6 шприцов. Какова вероятность того, что среди взятых шприцов 4 инсулиновых?

18. В небо полетело 30 шаров: 20 красных и 10 синих. Наудачу сбили 7 шаров. Какова вероятность того, что сбили 4 красных шара?

19. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются на две равные группы. Какова вероятность того, что четверо наиболее сильных игроков попадут по два в разные группы?

20. Из колоды в 32 карты берется наугад 10 карт. Найдите вероятность того, что среди них будут 8 одномастных.

Задание 2.

1.Три хозяйства выращивают кукурузу на зерно. Вероятности того, что хозяйства вырастят зерно отличного качества соответственно равны 0.9, 0.8, 0.75. Найдите вероятности того, что менее двух хозяйств вырастят зерно отличного качества.

2. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найдите вероятность того, что он промахнется хотя бы один раз.

3. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0.9; на третий – 0.8. Найдите вероятность того, что студент ответить менее чем на два вопроса.

4. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду для первого спортсмена равна 0.8, для второго – 0.7, для третьего – 0.6. найти вероятность того, что не менее двух спортсменов попадут в сборную.

5. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для первого прибора равна 0.8, для второго – 0.9, для третьего- 0.7. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными хотя бы два прибора?

6. В мешке смешаны нити трех цветов: белых – 50%, красных – 30%, черных – 20%. Определите вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется, что все нити разных цветов.

7. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду для первого спортсмена равна 0.8, для второго – 0.7, для третьего – 0.6. Найти вероятность того, что менее двух спортсменов попадут в сборную.

8. Три хозяйства выращивают кукурузу на зерно. Вероятности того, что хозяйства вырастят зерно отличного качества соответственно равны 0.9, 0.8, 0.75. Найдите вероятности того, что не менее двух хозяйств вырастят зерно отличного качества.

9. В мешке смешаны нити трех цветов: белых – 50%, красных – 30%, черных – 20%. Определите вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется, что все нити одного цвета.

10. Детали проходят три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0.02, второй – 0.03, третий – 0.02. Найти вероятность выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями.

11. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросили четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.7.

12. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найдите вероятность того, что он промахнется хотя бы два раза.

13. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0.9; на третий – 0.8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса.

14. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для первого прибора равна 0.8, для второго – 0.9, для третьего- 0.7. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока откажет хотя бы два прибора?

15. На мост сбросили четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.7. Найдите вероятности того, что будет более двух попаданий на мост.

16. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0.2, второй вызов – 0.3, третий вызов – 0.4.По условиям приема, события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найдите вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

17. В некотором устройстве 7 радиоламп: 3 ламп первого типа и 4 ламп второго типа. Вероятность выхода из строя в течение времени t для каждой лампы первого типа равна 0.002, для лампы второго типа – 0.004. Найдите вероятность выхода устройства из строя в результате выхода из строя хотя бы одной лампы.

18. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для первого прибора равна 0.8, для второго – 0.9, для третьего- 0.7. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока откажет менее двух приборов?

19. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0.7. По мишени производится 7 независимых выстрелов. Найдите вероятность того, что будет хотя бы один промах.

20. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0.2, второй вызов – 0.3, третий вызов – 0.4.По условиям приема, события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найдите вероятность того, что корреспондент не менее двух раз услышит вызов.

Задание 3.

1. Бросается монета, если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем один шар из урны I; в противном случае из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный 3 белых шара. Какова вероятность того, что вынутый наудачу шар оказался красным?

2. В группе из 25 стрелков имеются 5 отличных, 12 хороших и 8 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0.85, для хорошего – 0.7, для посредственного – 0.6. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный стрелок промахнется.

3. Покупатель может приобрести некоторое изделие в двух магазинах. Вероятности обращения его в каждый из магазинов зависят от их месторасположения и соответственно равны 0.2 и 0.8. Вероятности того, что к моменту прихода покупателя нужное ему изделие уже будет распродано, равна 0.1 для первого магазина и 0.6 для второго магазина. Покупатель посетил один из этих магазинов и приобрел изделие. Какова вероятность того, что он купил его во втором магазине?

4. Два товароведа производят приемку партии товара по качеству. Вероятности того, что очередное изделие попадет к первому товароведу, составляет 0.55, а ко второму – 0.45. Вероятность пропуска дефекта первым товароведом равна 0.05, вторым – 0.15. Определите вероятность того, что в процессе приемки дефектное изделие будет обнаружено.

5. 60% кинескопов, имеющихся на складе телевизионного ателье, изготовлены заводом №1, а остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0.9, а для кинескопа завода №2 эта вероятность равна 0.7. Найдите вероятность того, что наугад взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

6. В первой урне: 1 белый и 9 черных шаров; во второй: 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью ( свободную) урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

7. На элеватор поступает зерно кукурузы из трех хозяйств в количестве пропорциональном числом 2:3:5. Доля зараженности зерна болезнью в скрытой форме составляет для каждого хозяйства соответственно 1%, 0.5%, 0.7%. Определите вероятность того, что наудачу выбранное зерно выращено в первом хозяйстве, если оно оказалось здоровым.

8. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент подготовил только половину вопросов.

9. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0.3% брака, второй- 0.2%, третий- 0.4%. С первого автомата на сборку поступает 1000 деталей, со второго автомата 2000 деталей, с третьего автомата 2500 деталей. Найти вероятность того, что на сборку попадает стандартная деталь.

10. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0.6, стрелок В – с вероятностью 0.5 и стрелок С – с вероятностью 0.4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Какова вероятность того, что в мишень попал стрелок С?

11. В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих шаров; в желтом: 15 красных и 10 синих шаров. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то наудачу выбирают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трем, то наудачу выбирают шар из желтого ящика. Какова вероятность вынуть красный шар?

12. В двух урнах имеются черные и белые шары: в первой урне- 3 белых и 4 черных, во второй – 5 белых и 3 черных. Из первой урны берутся наугад два шара, из второй – 1 шар. Эти три шара помещаются в третью пустую урну. После этого из третьей урны вынимается один шар. Найдите вероятность того, что этот шар – белый.

13. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для игры и после игры возвращаются в ящик. После этого из ящика вынимают два мяча для следующей игры. Найдите вероятность того, что эти оба мяча будут не игранными.

14. В город ведут три дороги, каждая из которых охраняется блок – постом. Вероятность того, что отряд боевиков изберет первую дорогу, равна 0.2, вторую – 0.3, третью – 0.5. известно также, что блок – пост №1 может быть прорван с вероятностью 0.5, блок – пост №2 – с вероятностью 0.33, блок – пост №3 – с вероятностью 0.125. Известно, что боевики прорвались в город. Какова вероятность того, что они прорвались через блок – пост №2?

15. Первая бригада производит 60% всей продукции, вторая – 25%, третья – 15%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие оказалось доброкачественное, если процент брака составляет 10% для первой, 5% для второй и 2% для третьей бригады?

16. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найдите вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

17. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0.6 и 3 – с вероятностью 0.4. Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет?

18. На элеватор поступает зерно кукурузы из трех хозяйств в количестве пропорциональном числом 2:3:5. Доля зараженности зерна болезнью в скрытой форме составляет для каждого хозяйства соответственно 1%, 0.5%, 0.7%. Определите вероятность того, что наудачу выбранное зерно оказалось здоровым.

19. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0.9. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0.95 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, - с вероятностью 0.06. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее это испытание, удовлетворяет стандарту?

20. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0.3% брака, второй- 0.2%, третий- 0.4%. С первого автомата на сборку поступает 1000 деталей, со второго автомата 2000 деталей, с третьего автомата 2500 деталей. Наудачу попавшая на сборку деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она из второго автомата.

Задание 4.

1. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0.8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 автомашин.

2. Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.2. Найдите вероятность того, что будет от 4 до 8 попаданий.

3. Вероятность того, что покупателю потребуется 41-го размера, равна 0.2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится по крайней мере одному.

4. Вероятность того, что покупателю потребуется 41-го размера, равна 0.2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится не менее трем.

5. При передаче сообщения вероятность искажения знака равна 0.1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит хотя бы одно искажение?

6. При передаче сообщения вероятность искажения знака равна 0.1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит не более 3 искажений?

7. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0.85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет ровно 430 семян.

8. Вероятность того, что покупателю потребуется 41-го размера, равна 0.2. Найдите вероятность того, что из 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера не менее 35 человек.

9. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0.2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя менее 28 конденсаторов.

10. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется не менее чем 4 левши?

11. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0.01. Найдите вероятность того, что в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

12. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0.2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя менее 28 конденсаторов.

13. Радиоаппаратура состоит из 1000 микроэлементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение суток равна 0.001 и не зависит от состояния других элементов. Найдите вероятность отказа не менее 2 элементов за сутки.

14. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0.85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет ровно от 425 до 450 семян.

15. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0.2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя менее 28 конденсаторов.

16. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0.002. проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся от 5 до 8 страниц.

17. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0.2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.

18. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок хотя бы одну.

19. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0.2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя ровно 25 конденсаторов.

20. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок более 2.

Лабораторная работа №2.

Задание 1.

В задачах 1-20 требуется: а) составить закон распределения СВ X; б) найти и построить функцию распределения СВ X., в) найти числовые характеристики.

1.В партии из 15 деталей 10 стандартных. Наудачу взяли три детали. СВ X - число стандартных деталей среди отобранных.

2.В ящике 4 изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. СВ X - число вынутых изделий.

3.Набрасываются кольца на колышек либо до первого попадания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно пяти. СВ X - число брошенных колец, если вероятность набрасывания кольца на колышек при каждом испытании постоянна и равна 0.9.

4. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 карандаша красные. Наудачу извлекаются 3 карандаша. СВ X - число извлеченных красных карандашей.

5. Монета подбрасывается 4 раза. СВ X –число появления герба.

6. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекают 3 работы. СВ X -число работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборке.

7. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0.7, второго- 0.8, третьего- 0.9. СВ X - число попаданий в цель.

8. Участник игры в лапту 4 раза бьет по мячу. Вероятность попадания в мяч лаптой при каждом ударе равна 0.7. СВ X - число попаданий в мяч.

9. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три детали. СВ X -число нестандартных деталей среди отобранных.

10. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0.8. Стрелок стреляет до первого попадания или пока не закончатся патроны. СВ X - число промахов, если ему выдали четыре патрона.

11. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.7, для второго- 0.8. СВ X - число промахов в мишень двумя стрелками.

12. В урне 9 шаров, из которых 6 белых. Наудачу взяли три шара. СВ X -число белых шаров среди отобранных.

13. В ящике 6 изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. СВ X - число вынутых годных изделий.

14. На пути движения автомобиля три светофора. Каждый из них с вероятностью 0.5 либо разрешает, либо запрещает автомобилю дальнейшее движение. СВ X - число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

15. В ящике 4 изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. СВ X -число вынутых изделий.

16. В коробке 14 фруктов, среди которых 10 груш. Наудачу взяли 3 фрукта. СВ X - число груш среди трех отобранных.

17. В партии 30% бракованных деталей. Наудачу отобраны три детали. СВ X -число стандартных деталей среди отобранных.

18. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. СВ X - число проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

19. В корзине 12 фруктов, среди которых 8 яблок. Наудачу взяли три фрукта. СВ X -число яблок среди отобранных.

20. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0.9. СВ X -число дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту, если он может задать не более четырех вопросов.

Задание 2.

В задачах 1-20 случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Требуется найти: а) постоянную а; б) функцию распределения СВ X; в) математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение; г) вероятность того, что СВ X примет значение из интервала ( ).

1. , 0.5, 1.5.

2. , 1, 1.5.

3. , 0, .

4. , -0.5, 0.5.