Повторные независимые испытания.

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются не однократно. В результате каждого опыта может появиться или нет некоторое событие А. Причём нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появления события А в результате серии опытов.

Испытания называются повторными, если вероятность каждых отдельных опытов одинаковы.

Опыты называются независимыми, если вероятности того или иного исхода каждого из опытов не зависят от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть проводиться конечное число последовательных независимых испытаний, каждое из которых может иметь два исхода: успех (событие произошло) с вероятностью p и неудача (событие не произошло, то есть произошло противоположное событие) с вероятностью q=1-p. Такая схема называется схемой Бернулли.

Если проводиться n независимых испытаний и вероятность появления события А в каждом отдельном испытании одинакова и равна p, то вероятность того, что событие А появиться ровно m раз в этих n испытаниях, находят по формуле Бернулли . Эта формула описывает как распределяются вероятности между возможными значениями числа появления события А в n испытаниях.

Число успехов (неудач) называется наивероятнейшим числом , если вероятность этого числа успехов (неудач) самая большая из всех.

Для того что бы определить наивероятнейшее число используют следующие неравенства:

1) Если ∈ Q , то ∃ ! ∈ℤ

2) Если ∈ ℤ, то существует два наивероятнейших числа = и = .

При больших значениях n - вычисление вероятности (m) по формуле Бернулли становится затруднительным, однако в ряде случаев удается заменить формулу Бернулли подходящей приближённой асимптотической формулой.

I) Если n велико и p∈(0, 1) достаточно мало, то вероятность (m) можно найти по формуле Пуассона: , где λ=n∙p

II) Если n велико и p∈(0, 1) близко к единице, то вероятность (m) можно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа: ,

где x= ; q=1-p;

= – локальная функция Лапласа - табулирована (см. приложение №1)

= - четная

III) Если n велико и p∈(0, 1) близко к единице, то вероятность ( ; ) можно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

где = , i=1, 2; q=1-p;

= – интегральная функция Лапласа - табулирована (см. приложение №2).

= - нечетная

Если , то =0,5.

IV) Если n велико и p∈(0, 1) близко к единице, то вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной величины появления события в n испытаниях от вероятности появления события в одном испытании меньше положительного ε, можно найти по формуле:

Теорема Бернулли.Пусть m – число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании p. Тогда для любого достаточно малого ε будет выполняться:

Образец выполнения лабораторной работы №1.

Задача №1

Группа из 6 мужчин и 4 женщин делится случайным образом на две равные части. Найдите вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково?

Решение:

Пусть событиеА={ в каждой части мужчин и женщин одинаково }.

Так как 10 человек случайным образом делится на две равные части, то ПЭС представляет собой множество, состоящее из равновозможных элементарных событий, каждое из которых есть комбинация, состоящая из 5 человек. Такое число комбинаций конечно и равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. . Тогда вероятность события А найдем, используя классическое определение вероятности: , где n-число всех элементарных событий, m-число благоприятных элементарных событий появления события А. В нашем случае , число m найдем из того, что в каждой части мужчин и женщин должно быть одинаково, т.е. мужчин трое, женщин две. Тогда .

В результате получаем: или 95,2%.

Ответ: вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково равна 95,2%.

Задача №2

Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найдите вероятность того, что он промахнется хотя бы один раз?

Решение:

Пусть событие А = {хотя бы один раз охотник промахнется}.

Так как известны вероятности попадания и непопадания охотником при каждом выстреле, то пусть события

{попадание при i-ом выстреле}, i=1,2,3, тогда

;

и пусть события {непопадание при i-ом выстреле}, i= 1,2,3, тогда

Введем событие {все три раза попадет}, тогда и так как события (i=1,2,3) независимы, то .

Из того, что , имеем, что

или 66,4%.

Ответ: вероятность того, что охотник промахнется хотя бы один раз, равна 66,4%.

Задача №3

В группе из 25 стрелков имеются 5 отличных, 12 хороших и 8 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0.85, для хорошего-0.7, для посредственного-0.6. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный стрелок промахнется.

Решение:

Пусть событие A = {выбранный стрелок промахнется}. Для того, чтобы выяснить, выбранный стрелок промахнется или попадет, необходимо знать какой группе он принадлежит, а для этого введем события ={стрелок из i-ой группы}, i=1,2,3, где

Тогда вероятность события P(A) найдем по формуле полной вероятности:

.

Так как , то

или 30,2%.

Ответ: вероятность того, что выбранный стрелок промахнется, равна 30,2%.

Задача №4

Производится 10 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.2. Найдите вероятность того, что будет от 3 до 7 попаданий.

Решение:

Пусть событие A = {стрелок попадет от 3 до 7 раз}

Так как вероятности попадания в цель при каждом выстреле одинаковы и равны 0,2, то имеем повторные независимые попадания и так как число выстрелов 10 мало, то для нахождения вероятности события А применим формулу Бернулли: , где

p=0.2 – вероятность попадания при одном выстреле,

q=1- p =0.8 - вероятность непопадания при одном выстреле.

Так как m изменяется от 3 до 7, то вероятность события А найдем по формуле:

P_n(m₁:m₂) = P_n(m₁)+ P_n(m₁+1)+…+ P_n(m₂).

Имеем,

P(A)=P₁₀(3;7)= P₁₀(3)+ P₁₀(4)+ P₁₀(5)+ P₁₀(6)+ P₁₀(7)=

+ или 32,21%.

Ответ: вероятность того, что будет от 3 до 7 попаданий, равна 32,21%.