Многомерные случайные величины. Функция и плотность распределения. Числовые характеристики.

Пусть дано вероятностное пространство <Ω, 𝒜, P> и пусть = (ω), = (ω), …, = (ω) случайные величины, определенные на Ω. Случайный вектор X=( , ,… ) называется n-мерным случайным вектором или n-мерной случайной величиной определённой на Ω. Случайные величины = (ω) называются координатами или компонентами случайного вектора Х. Так как случайные величины определены на Ω, а алгебра 𝒜 замкнута относительно конечного числа произведений, то множество { ω | < , …, < }∈𝒜.

n-мерной функцией распределения случайного вектора Х называется вероятность: = P( ω | < , …, < ).

По аналогии дается определение двумерной случайной величины. Случайный вектор (X,Y) называется двумерным случайным вектором или двумерной случайной величиной определённой на Ω и так как { ω | X<x, Y<y }∈𝒜, то =P(ω | X<x, Y<y) – функция распределения двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения.

. ∀(x, y)∈ 0≤ (x, y)≤1.

. (x, y) неубывающая функция по каждой из переменных:

∀ ≤ ( , y)≤ ( , y),

∀ ≤ ( , )≤ ( , ).

. Функция распределения непрерывна слева по каждой из переменных;

. (x, -∞)= (-∞, y)= (-∞,-∞)=0.

a) (x, +∞)= ; б) (+∞, y)= .

. (+∞, +∞)=1.

.P( ≤X≤ ; ≤Y≤ )= ( , )- ( , )- ( , )+ ( , ).

Случайный вектор называется дискретным, если каждая его координата (компонента) есть дискретная случайная величина.

Законом распределения двумерной случайной величины (X,Y) называют перечень возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей.

X Y			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

=P(X= , Y= ) и при этом =1.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если X и Y непрерывные случайные величины.

Рассмотрим непрерывную случайную величину (X,Y) и элементарный прямоугольник ={x≤X<x+∆x, y≤Y<y+∆y}, тогда

P(x≤X<x+∆x, y≤Y<y+∆y) = (x+∆x, y+∆y)-

- (x+∆x, )- ( , y+∆y)+ ( , ).

Разделим эту вероятность на площадь прямоугольника и найдём предел при ∆x→0, ∆y→0:

( )= = ( ) (1)

Если (x, y) непрерывна и дифференцируема, то правая часть равенства (1) есть вторая смешанная производная от (x, y) по x и y.

( )= = (x,y)

и (x, y) называется плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y).

Случайный вектор (X,Y) называется непрерывным, если существует непрерывная неотрицательная функция (x, y)≥0 такая, что: =1 и выполняется равенство = .

Свойства плотности распределения:

∀(x, y)∈ ≥0

- нормированная величина: =1

=

∀D⊆ P((x, y)∈D) =

a) =

б) =

Пусть (X, Y) – дискретная двумерная случайная величина.

Условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y= называется отношение вероятности появления события к вероятности появления события = .

Условный закон распределения случайной величины Y при условии, что X= называется отношение вероятности появления события к вероятности появления события , т.е. = .

Замечаем, что = = = = 1 и .

Если (X, Y) – непрерывная двумерная случайная величина, то условная плотность распределения случайной величины X при условии Y имеет вид:

= . Аналогично определяется условная плотность распределения случайной величины Y при условии X: = .

Замечаем, что = ∙ = ∙ . С учетом формулы полной вероятности имеем обобщённую формулу полной вероятности для случайных величин:

Числовые характеристики у двумерной случайной величины такие, как и у одномерной:

Пусть (X,Y) – дискретная двумерная случайная величина.

Математическое ожидание:

Аналогично определяется M(Y)

Дисперсия:

Аналогично определяется D(Y)

Условное математическое ожидание:

M(X|Y)=

M(Y|X)=

Пусть (X, Y) – непрерывная двумерная случайная величина.

Математическое ожидание:

⟹

Аналогично для M(Y):

Дисперсия:

Аналогично определяется D(Y)=

Условное математическое ожидание:

M(X|Y) = ;

M(Y|X) = .

Помимо выше указанных характеристик также используют характеристики связи между случайными величинами. К таким характеристикам относят корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведений отклонений этих величин:

=cov(X,Y)=M .

Раскрыв скобки в формуле и применив свойства математического ожидания, получим:

= .

Таким образом, = .

Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами X и Y. Так как корреляционный момент зависит от единиц измерения случайных величин, что не всегда удобно, то в качестве характеристики связи используют также безразмерную величину – коэффициент корреляции: = .

Замечание. Модуль коэффициента корреляции меньше или равен единице: .

Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент отличается от нуля. В противном случае они называются не коррелированными.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если P(X=x, Y=y)=P(X=x)∙P(Y=y). В противном случае они называются зависимыми.

Теорема. Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда (x, y)= .

Следствие. Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда (x, y)= .

Замечание. Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда безусловный закон распределения случайной величины совпадает с ее условным законом распределения.

Замечание. Если две случайные величины X и Y коррелированны, то они зависимы, обратное не всегда верно.