Двумерное векторное подпространство.

Двумерным векторным подпространством является такое векторное подпространство базис которого состоит из двух векторов {е₁, е₂}. Базис векторного подпространства называется ортонормированным, если длины базисных векторов равны единицы, и базисные векторы перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: {i, j}.Множество всех векторов, параллельных одной плоскости, образует двумерное векторное подпространство.

Координатами вектора m в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, т.е. если m = х е₁ + у е₂, то числи х и у это координаты вектора m, в этом случае будем записывать m(х, у).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

Если вектор m= xа +yb и а(а₁,а₂), b(b₁,b₂) m(m₁,m₂)

m₁ =x a₁ + y b₁, m₂ =x a₂ + y b₂.

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j} а(а₁,а₂), b(b₁,b₂), то имеют место формулы

a b = а₁ b₁ + а₂ b₂ , │а│=

______а₁ b₁ + а₂ b₂___

cos (а,b) =

1.66. В правильном шестиугольнике АВСDEF векторы = е₁, = е₂ выбраны в качестве базисных, Найти координаты векторов ,

1.67. В ромбе АВСD векторы = е₁, = е₂ выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов , .

1.68. В треугольнике АВС М, Р, К середины АВ, ВС, СА. Прямые ВК и МР пересекаются в точке О.

а) Найти координаты векторов в базисе = е₁, = е₂.

б) Найти координаты векторов в базисе = е₁, =е₂.

1.69. Даны векторыа(2,1), b (1,0). Найти коэффициенты разложения вектора с(9,1) по векторам а и b.

1.70. Даны векторы а(3,-2), b (-2,1), с(-9,6).Можно ли каждый из этих векторов разложить по двум другим ?

1.71. Даны векторы а(3,-1), b (1,-2), с(-1,7) Определить коэффициенты разложения вектора р = а + b + с по векторам а и b.

1.72. . Даны векторы а(2,3), b (1,-3), с(-1,3). Существует ли коэффициент х, для которого векторы а + хb и а + 2с коллинеарны ?

1.73. В треугольнике АВС (1,3), (2,1). АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС, определить координаты трех векторов,

1.74. Даны векторы. а(-1,-2), b (3,-5), с(4,-3). Существует ли треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны по длине данным векторам ?

1.75. Дан базис {i, j}.Найти координаты векторов а и b, если: а)|а| =3,

(i,а) = 30°;б)|b | =5, (i, b) = 135°.

1.76. Дан ортонормированный базис и векторы а(1,0), b (2,2),с(4,-4). Найти углы между парами этих векторов.

1.77. АМ – медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ и угол АМС, зная координаты (4,6), (8,-4) в ортонормированном базисе.

1.78. АН – высота треугольника АВС. Найти длину АН, зная координаты (1,-1) и (-2,1) в ортонормированном базисе.

1.79. Дан базис (е₁, е₂). Зная координаты векторов а(а₁,а₂) и b (b ₁, b ₂), длины базисных векторов и угол между базисными векторами. , найти скалярное произведение а b.

1.80. В треугольнике АВС А = 120°,|АВ|= 2, |АС|= 1. Найти длину высоты АН.

1.81. В треугольнике АВС А = 90°,|АВ|= 2, |АС|= 3. Найти длину биссектрисы АD.

Применение векторов к решению задач элементарное геометрии.

ЗАМЕЧАНИЕ

При решение задачи элементарной геометрии с помощью векторов надо сначала сформулировать заключение задачи (то, что нужно доказать, или то, что нужно найти) с помощью векторов. После этого ввести базис, связанный с условием задачи (если можно, то лучше ортонормированный базис или базис, для которого известны длины базисных векторов и углы между ними), затем выявить все векторы, связанные с задачей, и найти их координаты в данном базисе и после этого решить задачу с помощью векторов.

ПРИМЕР 1.16

Найти угол между биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла.

РЕШЕНИЕ

Рис. 1.14

Пусть ОАВС прямой трехгранный угол с вершиной О, т.е. АОВ, ВОС, СОА прямые углы (Рис. 1.14). Найдем угол МОК между биссектрисами ОМ и ОК углов АОВ и ВОС. Для этого найдем векторы, параллельные этим биссектрисам и найдем косинус угла между этими векторами.

Рассмотрим такой ортонормированный базис i, j, kдля которого

i ↑↑ , j ↑↑ , k ↑↑ .Тогда по ПРИМЕРУ 1.4 вектор ( i + j)сонаправлен с вектором , в вектор (j + k)сонаправлен с вектором .

Следовательно, МОК = (i + j, j + k ).

Найдем координаты этих векторов. Ясно, что( i + j) (1,1,0)а

(j + k)(0,1,1). Поэтому

Соs МОК = Соs (i + j, i + j) = = ,значит МОК = 60°.

ОТВЕТ. Угол между биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла равен 60°.

ПРИМЕР 1.17

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, начиная от вершин.

РЕШЕНИЕ

Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ – медианы треугольника АВС. Обозначим через О₁, О₂, О₃ точки, делящие медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ в отношении 2:1, начиная от вершин, тогда

= , = , = . Докажем, что три точки О₁, О₂, О₃ совпадают. Две точки О₁ и О₂ совпадают тогда и только тогда, когда вектор нулевой вектор.

Рис. 1.15

Введем базис {а, b } , где = а, = b(Рис.1.15).Тогда

= ( + ) = (а + b), = = -а + b, а значит

= (а + b), = (-а + b).

Выразить вектор О₁О₂ через векторыаиb.

= + + = - (а + b) + а + (-а + b) =0.Т.е. = 0, следовательно точки О₁ и О₂ совпадают.

Аналогично доказывается, что точки О₂ и О₃ совпадают.

Таким образом, три точки О₁, О₂, О₃ совпадают, следовательно, медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке О₁, которая делит их в отношении 2:1, начиная от вершин. ■

ПРИМЕР 1.18

Доказать, что если в тетраэдре две пары противоположных репер попарно перпендикулярны, то и третья пара противоположных ребер перпендикуляра.

РЕШЕНИЕ

Пусть в тетраэдре АВСD ребра АВ и СD перпендикулярны и ребра АС и ВD перпендикулярны. Докажем, что ребра АD и ВС перпендикулярны, т.е. скалярное произведение векторов иравно нулю.

Введем базис {а, b, с} , где а = , b = , с = , тогда = с – b,

= с – а, = b –а.

Рис. 1.16

Так как АВ CD и АС ВD (Рис.1.16), то скалярные произведения = 0и = 0, значит а(с – b) = 0, b (а – с) = 0,отсюда получаем, что

ас – а b = 0, b а – b с = 0илиас = а bиа b = b с.Из этих двух равенств следует, что

ас = b с(1)

Найдем скалярное произведение .Подставив вместо векторов иих разложения по базисным векторам, получим

= с (b – а) = с b – са = b с – ас ,

отсюда, учитывая равенство (1), получаем, что = 0,следовательно, векторы иперпендикулярны, и значит ребра АD и ВС перпендикулярны. ■

1.82. Доказать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

1.83. Найти углы между скрещивающимися медианами граней правильного тетраэдра.

1.84. Доказать, что в кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ диагональ АС₁ перпендикулярна плоскости А₁ВD.

1.85. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

1.86. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

1.87. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

1.88. Доказать, что медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

1.1. в) ;г) ; д) .

1.2. а) ;б).

1.3. а) ;б) ; в) .

1.5. а) ; б) .

1.6. а) ; б) ; в) .

1.7. 1) Соотношение имеет знак равно, если векторы а и в сонапрапвлены. 2) Соотношение имеет знак равно, если или хотя бы один вектор нулевой, или векторы а и в противоположно направлены. 3) Да, например, если в треугольнике АВС сторона АВ меньше и стороны АС и стороны ВС и = а, = b. 4) Да, например, если в треугольнике АВС сторона АВ больше и стороны АС и стороны ВС и = а, = b.

1.16. а) = , ;

б) = - ( ), , .

1.17.а) = - , = - – – ;

б) = + , = - + – .

1.18.а) = – + ;б) = - – ,

– – , = - + .

1.19. Нет, если а 0, b = 0.

1.20. Нет, если векторы а и b коллинеарны, а векторыа и с не коллинеарны.

1.21. Если а 0 и b 0 или а = b = 0

1.22. Если векторы а, b, с компланарны и попарно не коллинеарны или а = b = с = 0.

1.23. а) линейно независимы, б), в), г) - линейно зависимы.

1.24. а) линейно зависимы, б), в), г) - линейно независимы.

1.25. х - 1.

1.26. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, ,-4)

1.27. а), с) линейно зависимы.

1.28. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4а – с.

1.29. Нет.

1.30. Да, х = - , у = .

1.31. 1) Да. 2) Нет. 3) Нет. 4) Да.

1.33. ( , , ), ( , , 0), ( ,0, - ), (- , , ).

1.34. (-1,2,-2), (2,-4,2).

1.35. (-1,-1,2), (- , , ).

1.36. (- , 1, ), (-1, , ).

1.37. (-1,,), (, , -1), (1, , -1).

1.38. (0,2,-1), (2,-1,-2).

1.39. (-1,1,0), (-, 2, -), ( , 0, -).

1.40.(3, - , -1), (- , 0, 1).

1.41. ( , - ).

1.42. 8.

1.43. - .

1.44. -25.

1.45. 1) Разность квадратов диагоналей параллелограмма равна учетверенному произведению смежных сторон на косинус угла между ними. 2) Произведение диагоналей параллелограмма и косинуса угла между ними равно разности квадратов его смежных сторон.

1.46. 2) – верное равенство.

1.47. 1) -17, 2) , 3) - , 4) -164, 5) -11.

1.48. – .

1.49. cоs (i, а) = ,cоs (j, а) =- , cоs ( k,а) = .

1.50. ,

1.51. 1) 6 , 2) .

1.54. АМ = 3, cоs АМВ ,

1.55. Равенство выполняется, если а) хотя бы один из векторов а, b, с нулевой,

б) а, b, с –ненулевые коллинеарные векторы, в) а, b, с –ненулевые векторы и а b,

b с,г) а, b, с- ненулевые векторы аи с коллинеары, вектор b не перпендикулярен ни вектору а, ни вектору с.

1.56. АD = , АН = ,

1.57. cоs МАН = .

1.58. cоs МАD = .

1.59. АМ = , Соs НАD = .

1.60. .

1.61. cоs (АС₁, В₁Д₁) =

1.62.3.

1.63. .

1.64. . cоs (DМ, ВС) = .

1.65. .

1.66. ( , ), (1,1), (-,), (-, -).

1.67. (, -), (,), (-,), (-, -).

1.68. а) (-1,1), (-1,-2), (-1,-1), (-2,-2), (1,1), (-1,-5).

б) (-2,1), (-,1), (-1,1), (-2,2), (1,-1), (1,1).

1.69. с = а +7b.

1.70. а = - с, с = -3а, вектор b нельзя разложить по векторам аис .

1.71. р = 2а – 3b.

1.72. х = - 2.

1.73. ( , 2), (0, ), (- , ).

1.74. Да, так как а – b + с = 0.

1.75. а( , ), b (- , ).

1.76. (а, b) = 45°, (а,с) = 45°, (b,с)= 90°.

1.77. ВМ = , cоs АМС = - .

1.78. АН = .

1.79. а b = (а₁b₁) │е₁│² + (а₂b₂) │е₂│² + (а₁b₂ + а₂ b₁) │е₁││е₂│ Соs (е₁,е₂).

1.80. АН =

1.81. АD = .

1.83. cоs х = .

ГЛАВА II.