Подсчет критерия Q Розенбаума

1.Проверить, выполняются ли ограничения: n_1, n₂ ≥ 11, n₁ ≈ n₂

2.Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака. Считать выборкой 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 - ту, где значения предположительно ниже.

3.Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.

4.Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S₁.

5.Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.

6.Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S₂.

7.Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Q=S₁+S₂.

8.По Табл. Для критерия Розенбаума определить критические значения Q для данных n_1, и n_2. Если Q_эмп равно Q_0,05 или превышает его, Н₀ отвергается.

9.При n_1, n₂ >26сопоставить полученное эмпирическое значение с Q_кр =8 (р≤0,05) и Q_Kp=10(p≤0,01). Если Q_эмп превышает или по крайней мере равняется Qкр=8, H₀ отвергается.

3. U- критерий Манна-Уитнн

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровнюкакого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n_1,n₂ ≥3или n₁=2, n₂≥5. И является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Описание критерия

Существует несколько способов использования критерия и несколько вариантов таблиц критических значений, соответствующих этим способам.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Мы помним, что 1-м рядом (выборкой, группой) мы называем тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-м рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Иногда эти различия называют различиями в расположениидвух выборок.

Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U_эмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

H₀: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

H₁: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака

в группе 1.

Графическое представление критерия U

На Рис. 5. представлены три из множества возможных вариантов соотношения двух рядов значений.

В варианте (а) второй ряд ниже первого, и ряды почти не перекрещиваются. Область наложения слишком мала, чтобы скрадывать различия между рядами. Есть шанс, что различия между ними достоверны. Точно определить это мы сможем с помощью критерия U.

В варианте (б) второй ряд тоже ниже первого, но и область перекрещивающихся значений у двух рядов достаточно обширна. Она может еще не достигать критической величины, когда различия придется признать несущественными. Но так ли это, можно определить только путем точного подсчета критерия U.

В варианте (в) второй ряд ниже первого, но область наложения настолько обширна, что различия между рядами скрадываются.

Рис. 5. Возможные варианты соотношении рядов значений в двух выборках; штриховкой обозначены зоны наложения

Ограничения критерия U

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдении:

n_1,n₂ ≥3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; Однако уже при n_1,n₂ >20 ранжирование становится достаточно трудоемким (что при компьютерной обработке не является критичным).

Пример

Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального интеллекта. С помощью критерия Q Розенбаума мы в предыдущем параграфе смогли с высоким уровнем значимости определить, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот результат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 3.

Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Таблица 3

Индивидуальные значения невербального интеллекта в выборках студентов физического (n₁ =14) и психологического (n₂=12) факультетов

Критерий U требует тщательности и внимания. Прежде всего, необходимо помнить правила ранжирования.

Правила ранжирования

1.Меньшему значению начисляется меньший ранг.

Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, если п=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получает средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

и т.д.

3. Общая сумма рангов должка совпадать с расчетной, которая определяется по формуле:

где N – общее количество ранжируемых наблюдений (значений).

Несовпадение реальной и расчётной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить её.

При компьютерной обработке данные использования критерия Манна-Уитни не вызывают трудностей..

После обработки данных можно сформулировать гипотезы:

H₀: Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

H₁: Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпирическую величину U:

Поскольку в нашем случае n₁ не равно n₂ подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей п_х:

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если

Построим "ось значимости".

U_эмп >U_кр

Ответ: Н₀принимается. Группа студентов-психологов не превосходит группы студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Обратим внимание на то, что для данного случая критерий Q Розенбаума неприменим, так как размах вариативности в группе физиков шире, чем в группе психологов: и самое высокое, и самое низкое значение невербального интеллекта приходится на группу физиков (см. Табл. 2.4).