|
|
Алгебраические критерии устойчивости
Критерий Гурвица
В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости систем, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Гурвица сформулирован таким образом – если все коэффициенты характеристического уравнения системы (2.20.) положительны(an > 0)и положительны все определители Гурвица, то система устойчива. При составлении определителей Гурвица применяются следующие правила:
В результате получаем матрицу коэффициентов следующего вида:
Определители Гурвица составляются на основании матрицы коэффициентов (согласно пунктирным линиям матрицы (2.24.) и имеют следующий вид:
Все последующие определители также должны быть больше нуля. Последний (n-ый) определитель будет включать в себя всю матрицу коэффициентов (2.24.), но обычно его выражают через предпоследний определитель Гурвица (Dn-1):
Правильность такого выражения следует из того, что в последнем столбце определителя Δnстоят нули, за исключением a0. При условии, что все определители Гурвица больше нуля, можно определить границы устойчивости системы. Этого можно достигнуть, приравняв к нулю последний определитель (Dn = 0), а согласно формуле (2.28.) для этого имеется два варианта решения: 1. a0 = 0 – граница устойчивости первого типа (нулевой корень) 2. Dn-1 = 0 – колебательная граница устойчивости
Недостатками критерия Гурвица являются:
Пример определения устойчивости САУ по Гурвицу
Имеем характеристическое уравнение системы третьего порядка:
Составляем матрицу коэффициентов характеристического уравнения:
Если коэффициент a0 положителен, то устойчивость системы, описанной имеющимся характеристическим уравнением, будет вытекать из положительности D1 и D2, т.е.:
D1 = а2 > 0 и
отсюда D2 = a1a2 − a0a3 > 0, а значит для устойчивой системы, кроме положительности коэффициентов уравнения, должно выполняться условие a1a2 > a0a3. Пример определения диапазона значений передаточного коэффициента управляющего устройства для устойчивой системы Система автоматического управления представлена структурной схемой, приведенной на рисунке 63:
Рис.63. Структурная схема САУ
Требуется определить диапазон значений передаточного коэффициента kp управляющего устройства, при котором система будет устойчивой, при следующих параметрах:
Решение:
Определим передаточную функцию всей системы:
Заменим
и получим характеристическое уравнение системы следующего вида:
В соответствии с критерием Гурвица и рассмотренным Примером 1, для устойчивой системы, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка справедливо неравенство: a1a2 > a0a3 (2.36.)
поэтому подставив имеющиеся данные, получим:
a1a2 = 0,09 х 1 > 0,01 х 0,26kр = a0a3, где 0 < kр < 34,62 (2.37.) Диапазон значений передаточного коэффициента управляющего устройства, при котором система будет устойчивой, найден. Критерий Рауса
Практически одновременно с Гурвицем английский математик Э. Раус предложил свой алгебраический критерий устойчивости САУ, описываемых дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Рауса сформулирован таким образом – система устойчива, если все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительные. Если не все коэффициенты первого столбца положительные, то система неустойчива, а количество положительных корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы. При составлении таблицы Рауса применяются следующие правила:
ck,i = ck+ 1,i - 2 - ri k - номер столбца.
Рис.64. Образец заполнения таблицы Рауса
Достоинство критерия Рауса в простоте его использования независимо от порядка характеристического уравнения. Недостаток критерия Рауса в его малой наглядности, трудности определения степени устойчивости системы, как далеко она находится от границы устойчивости.
Примеропределения устойчивости САУ по критерию Рауса
Необходимо определить устойчивость САУ, ее структурная схема на рисунке 65.
Рис.65. Структурная схема САУ Обозначения в структурной схеме: Кизм - передаточный коэффициент измерительного устройства; Кфчв, Тф – передаточный коэффициент и постоянная времени фазочувствительного выпрямителя; Ку - коэффициент усиления электронного усилителя; Кэму Тэ - коэффициент передачи и постоянная времени электромашинного усилителя; Кд, Тд - коэффициент передачи и постоянная времени электрического двигателя; Кред - коэффициент передачи редуктора.
Рис.66. Таблица числовых значений данных
Решение:
Найдем передаточную функцию системы:
Подставив числовые значения, получим:
Получим представление характеристического полинома в следующем виде:
Характеристическое уравнение будет иметь вид:
D(s) =
Составим таблицу Рауса в соответствии с правилами и получим:
Рис.67. Таблица Рауса Из анализа таблицы следует, что коэффициенты первого столбца таблицы положительны, а значит, система устойчива.
|
|
(2.24.)
(2.25.)
(2.26.)
(2.27.)
(2.28.)
(2.29.)
(2.30.)
(2.31.)
(2.34.)
(2.35.)
ck + 1,i – 1 , где ri = c1 ,i – 2 / c1,i – 1 , i 
3 - номер строки,
(2.38.)
(2.39.)
(2.40.)
(2.41.)
(2.42.)