Частотные критерии устойчивости

По виду частотных характеристик САУ можно судить об устойчивости систем, поэтому существуют частотные критерии устойчивости систем, которые позволяют осуществлять исследование устойчивости систем во взаимосвязи с графическим представлением их характеристик.

Частотные критерии имеют довольно простую интерпретацию, поэтому с их помощью удобно исследовать устойчивость систем, описываемых характеристическими уравнениями высокого порядка.

Рассмотрим основные критерии.

Критерий Михайлова

В 1938 году русский ученый А.В.Михайлов сформулировал критерий устойчивости САУ, основанный на анализе годографа Михайлова и принципе аргумента, которым обусловлено, что сумма аргументов всех сомножителей комплексного числа равна аргументу произведения комплексных чисел.

Возьмем характеристическое уравнение системы следующего вида:

(2.43.)

Подставим в уравнение мнимое значение р = jw и получим:

(2.44.)

Полученное выражение представляет собой математическое описание вектора Михайлова, конец которого при изменении частоты w от 0 до ¥, будет описывать на комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова, графическое представление которого изображено на рисунке 68.

Критерий Михайлова сформулирован следующим образом: САУ является устойчивой, если годограф Михайлова при изменении частоты от0 до ¥ начинается приw = 0на положительной вещественной полуоси, и с увеличением частоты проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль,nквадрантов координатной плоскости, гдеnявляется порядком характеристического уравнения системы.

Система является неустойчивой при любом отклонении от критерия Михайлова. На рисунке 68 годограф 1 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 3-го порядка, годограф 2 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 4-го порядка, годограф 3 соответствует неустойчивой системе, годограф 4 соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, при этом годограф Михайлова проходит через 0.

Рис.68. Графическое представление годографа Михайлова

1 и 2 – устойчивая система, 3 – неустойчивая система,

4 – система находится на границе устойчивости

На рисунке 69 изображены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем, где n - порядок дифференциального уравнения:

Рис.69. Годографы Михайлова:

а) устойчивых систем, б) неустойчивых систем

Пример определения устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова

Необходимо определить устойчивость САУ, структурная схема которой представлена на рисунке 65, числовые значения данных представлены в таблице на рисунке 66.

 

Решение:

 

Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:

 

D(s) = (2.42.)

 

Подставив в уравнение , получим:

 

(2.45.)

 

Преобразуем уравнение в следующий вид:

 

(2.46.)

 

Выделим действительную и мнимую части:

 

; (2.47.)

 

Для построения годографа Михайлова составим таблицу значений (рисунок 70):

 

		7.817	13.176	132.9
	19.35		−35.49
		5.0654		−13386.75

 

Рис.70. Таблица значений

 

С помощью таблицы значений построим на комплексной плоскости годограф Михайлова и представим его на рисунке 71.

Рис.71. Годограф Михайлова

 

Анализируя годограф на рисунке 71 в соответствии с критерием Михайлова можно сделать вывод, что САУ устойчива, т.к. годограф начинается на действительной оси и с ростом ω от 0 до обходит последовательно в положительном направлении 4 квадранта комплексной плоскости.

Критерий Найквиста

В 1932 г. американский физик Найквист сформулировал критерий устойчивости САУ, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутого контура. Критерий Найквиста сформулирован следующим образом – если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то необходимым и достаточным условием ее устойчивости в замкнутом состоянии будет условие, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до+ ¥ не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0).

р = jw, получим АФЧХ разомкнутой системы n - ного порядка:

(2.49.)

Указанную АФЧХ разомкнутой системы построим на комплексной плоскости при увеличении частоты от 0до +¥, что показано на рисунке 72.

Рис.72. Критерий устойчивости Найквиста:

1 – АФЧХ устойчивой системы, 2 – АФЧХ системы на границе

устойчивости, 3 – АФЧХ неустойчивой системы

В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы пройдет через точку с координатами

(-1; j0), как видно из рисунка 72 (график 2), система будет находиться на колебательной границе устойчивости. В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы будет охватывать точку с координатами (-1; j0), замкнутая система будет являться неустойчивой (рисунок 72, график 3).