Лекция 2. Операции над нечеткими множествами

Равенство нечетких множеств

Два нечетких множества и их равенство выполняется, если их функции принадлежности принимают равные значения на всем универсуме X:

Равенство множеств в данном случае записывается как A=B

Нечеткое подмножество

Нечеткое множество является нечетким подмножеством нечеткого множества тогда и только тогда, когда значения функции принадлежности первого не превосходят соответствующих значений функции принадлежности второго, т. е. выполняется следующее условие:

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Записывается так: A B

Можно сказать, что нечеткое множество В доминирует над нечетким множеством А, а множество А содержится в нечетком множестве В.

Если

То говорят о строгом доминировании

Пересечение

Пересечением двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Операция пересечения обозначается C= A B или C= A B

Рис. 10. Графическое представление операции пересечения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Объединение

Объединением двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Операция пересечения обозначается C= A B или C= A B

Рис. 11. Графическое представление операции объединения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Разность

Разностью двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Записывается так: C = A - B

Рис. 11. Графическое представление операции разности двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Симметрическая разность

Следует заметить, что операция разности двух нечетких множеств в отличие от операций объединения и пересечения не является коммутативной. По аналогии с обыч­ными множествами иногда оказывается полезной операция симметрической раз­ности двух нечетких множеств и B (будем обозначать ее через s w:val="28"/></w:rPr><m:t>Рђ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> B). По оп­ределению:

Рис. 12. Графическое представление операции симметрической разности двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Алгебраическое пересечение

Алгебраическим пересечением или алгебраическим дополнением двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

т. е. как результат обычного арифметического произведения соответствующих значений функций принадлежности.

Рис. 13. Графическое представление операции алгебраического пересечения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Алгебраическое пересечение двух нечет­ких множеств и B обозначается через C = A B

Алгебраическое объединение

Алгебраическим объединением двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Записывается так: C = A + B

Рис. 14. Графическое представление операции алгебраического объединения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Операции алгебраического объединения и пересечения используются не очень часто, т.к. для них выполняются не все из свойств которые описаны в дискретной математике

Коммутативность – A B = B A

Ассоциативность – A (B C) = (A B) C

Дистрибутивность – A (B C) = (A B) (A C)

Законы де Моргана – = и =

Которые выполняются для классических операций объединения и пересечения.

Граничное пересечение

Граничным пересечением двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Записывается так: C = A B

Рис. 14. Графическое представление операции граничного пересечения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Граничное объединение

Граничным объединением двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Записывается так: C = A B

Рис. 15. Графическое представление операции граничного объединения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности

Драстическое пересечение

Драстическим пересечением(от англ. – решительный, радикальный) двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Записывается так: C = A B

Рис. 16. Графическое представление операции драстического пересечения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Драстическое объединение

Драстическим объединением(от англ. – решительный, радикальный) двух нечетких множеств и B будем называть некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

Записывается так: C = A B

Рис. 17. Графическое представление операции драстического объединения двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности (а) и П-образными (б) функциями принадлежности

Операция - суммы

Эта операция для двух нечетких множеств и B обозначается через некоторое третье нечеткое множество С, заданное на этом же универсуме X. функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

, где параметр

Записывается так: C = A _λB

Рис. 18. Графическое представление операции - суммы двух нечетких множеств и B, заданных линейными Z-образной и S-образной функциями принадлежности

При этом оказывается справедливой следующая цепочка неравенств: